二阶线性常系数非齐次微分方程特解简便求法

简林祥 李德新 陈日清

摘 要：一般高等数学教材里，关于两类具有特殊形式自由项的二阶线性常系数非齐次微分方程，均需通过求解特征根，才能假设出特解形式。文章通过推导，得到了一种无须求解特征根便能得到特解形式的简便方法，这对求解此类方程提供了一定的便利。

关键词：特解；加次；多项式

中图分类号：O175.1 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）07-0095-03

Abstract： Inthe teaching materials of general advanced mathematics， two kinds of two order linear constant coefficient non-homogeneous differential equations with special form of free term must be solved by solving characteristic roots. In this paper， a convenient method to obtain the special solution form is obtained， which can provide some convenience for solving such equations.

Keywords： special solution； addition； polynomial

引言

（一）二阶线性非齐次方程及其解的结构

形如

y"+p（x）y'+q（x）y=f（x）， （1）

的方程称为二阶线性非齐次方程（标准形式），其中非齐次项f（x）不恒为零，称为自由项。

齐次方程

y"+p（x）y'+q（x）y=0， （2）

称为方程（1）对应的齐次方程。

有关方程（1）的解的结构如下（证明从略）：

定理1 设Y是齐次方程（2）的通解，y*是非齐次方程（1）的一个解，则

y=Y+y*

是非齐次方程（1）的通解。

如，对非齐次方程y"+y=2ex来说：y=C1sinx+C2cosx是对应的齐次方程y"+y=0的通解，y*=ex是原非齐次方程的一个解（读者自行验证），因此

y=C1sinx+C2cosx+ex

是所给的方程的通解。

定理2 设非齐次方程（1）右端f（x）是几个函数之和（或差），如

y"+p（x）y'+q（x）y=f1（x）±f2（x），

而y1*与y2*分别是方程

y"+p（x）y'+q（x）y=f1（x）与y"+p（x）y'+q（x）y=f2（x）

的解，则y*=y1*±y2*是原方程的解。

定理2是线性非齐次方程特解的叠加（或减）原理。

由定理2，可得：若y1*与y2*都是非齐次方程（1）的解，则y*=y1*-y2*是对应的齐次方程（2）的解。

定理3 设y1+iy2是方程y"+p（x）y'+q（x）y=f1（x）+if2（x）的解，其中p（x），q（x），f1（x），f2（x）为实值函数，i为纯虚数.则y1与y2分别是方程

y"+p（x）y'+q（x）y=f1（x）与y"+p（x）y'+q（x）y=f2（x）

的解。

（二）两类特殊的二阶线性常系数非齐次方程的解法

二阶线性常系数非齐次方程的标准形式是

y"+py'+qy=f（x）， （3）

其中p，q为常数，自由项f（x）不恒为零。

非齐次方程（3）对应的齐次方程为

y"+py'+qy=0。（4）

为方便起见，方程（4）的特征多项式、特征方程和特征根也称为方程（3）的特征多项式、特征方程和特征根。

由定理1可知，求方程（3）的通解，归结为求方程（4）的通解和方程（3）的一个特解。由于方程（4）的通解求法已解决，所以只需讨论方程（3）特解y*的求法。对一般自由项f（x），求方程（3）特解没有很简明有效的方法，我们只研究自由项f（x）为下列两种常见形式时，方程（3）特解y*的求法：

f（x）=Pm（x）e？姿x；f（x）=Pm（x）e？姿xcos？棕x或Pm（x）e？姿xsin？棕x，

其中Pm（x）为m次多项式，？姿，？棕为常数。

（a）y"+py'+qy=Pm（x）e？姿x情形

由于方程右端是多項式Pm（x）与指数函数e？姿x的乘积，而多项式与指数函数乘积的各阶导数仍为多项式与指数函数的乘积，因此可以推测

y*=Q（x）e？姿x（其中Q（x）是某个待定多项式）

可能是方程（3）的特解。将y*及y*'，y*"代入方程，两边消去e？姿x，整理得

Q"（x）+（2？姿+p）Q'（x）+（？姿2+p？姿+q）Q（x）=Pm（x），

即

Q"（x）+T'（？姿）Q'（x）+T（？姿）Q（x）=Pm（x）， （5）

其中的系数T（？姿）=？姿2+p？姿+q，T'（？姿）=2？姿+p分别是特征多项式T（r）在r=？姿的值和导数值。方程（5）就是待定多项式Q（x）所应该满足的条件。

由于方程（5）右边Pm（x）是已知的m次多项式，可以推测Q（x）也是某个多项式，且使（5）式左边也是m次多项式。注意：比较（5）式两端同次项系数，可得m+1个方程联立起来的方程组，因而一般来说，待定多项式Q（x）中可以只含m+1个待定系数。

下面根据（4）式左边的系數T（？姿），T'（？姿）是否为零，来确定Q（x）的最高幂次及形式。具体讨论如下：

1. 若T（？姿）≠0，即？姿不是特征根，则Q（x）必是一个m次多项式，此时可令Q（x）=Qm（x）（Qm（x）为待定m次多项式，只含m+1个待定系数）。

2. 若T（？姿）=0但T'（？姿）≠0，即？姿是单特征根，则Q'（x）必是一个m次多项式，于是Q（x）必是一个m+1次多项式，为了简便常数项取为零，以使得Q（x）只含m+1个待定系数，此时可令Q（x）=xQm（x）。

3. 若T（？姿）=0且T'（？姿）=0，即？姿是二重特征根，则Q"（x）必是一个m次多项式，于是Q（x）必是一个m+2次多项式，为了简便常数项与一次项系数取为零，以使得Q（x）只含m+1个待定系数，此时可令Q（x）=x2Qm（x）。

综上所述，二阶线性常系数非齐次方程

y"+py'+qy=Pm（x）e？姿x

的特解具有形式：

y*=xkQm（x）e？姿x，

其中Qm（x）是与Pm（x）同次的待定多项式，而k按？姿不是特征根、是单特征根或是二重特征根依次取0，1或2，即 k表示？姿作为特征根的重数。

有了特解y*的上述形式后，把y*代入给定的微分方程，利用待定系数法，即可求得特解y*。这种方法的特点是不用积分就可以求出y*来，称为待定系数法或待定特解法。

注：把y*=xkQm（x）e？姿x代入原微分方程等价于把相应的Q（x）=xkQm（x）代入方程

Q"（x）+T'（？姿）Q'（x）+T（？姿）Q（x）=Pm（x）。

特别地，当？姿=0时，二阶线性常系数非齐次方程

y"+py'+qy=Pm（x）

的特解具有形式：

y*=xkQm（x），

其中k表示？姿=0作为特征根的重数。

更特别地，二阶线性常系数非齐次方程（A为非零常数）

y"+py'+qy=A

的特解具有形式：

y*=axk，

其中k表示？姿=0作为特征根的重数，a为待定常数。

（b）y"+py'+qy=Pm（x）e？姿xcos？棕x或Pm（x）e？姿xsin？棕情形

由欧拉公式知道，Pm（x）e？姿xcos？棕x和Pm（x）e？姿xsin？棕x分别是

Pm（x）e（？姿+？棕i）x=Pm（x）e？姿x（cos？棕x+isin？棕x）

的实部和虚部。根据定理3可知，此时方程的特解是方程

y"+py'+qy=Pm（x）e（？姿+？棕i）x（6）

的特解的实部和虚部，而套用情形（a）的结论，并注意到？姿+？棕i不可能是实系数的特征方程的二重根，可知方程（6）的特解具有如下形式：

y*=xkQm（x）e（？姿+？棕i）x，

其中Qm（x）是与Pm（x）同次的待定多项式（可以是复系数的），而k按？姿+？棕i不是特征根或是单特征根依次取0或1。

进一步取出特解的实部和虚部，可得结论：

二阶线性常系数非齐次方程

y"+py'+qy=Pm（x）e？姿xcos？棕x或Pm（x）e？姿xsin？棕x

的特解具有形式：

y*=xke？姿x[Qm（x）cos？棕x+Rm（x）sin？棕x]，

其中Qm（x）和Rm（x）是m次多项式，而k按？姿+？棕i不是特征根，是特征根依次取0或1，

即k表示？姿+？棕i作为特征根的重数。

注：把y*代入原方程等价于把Q（x）=xk[Qm（x）cos？棕x+Rm（x）sin？棕x]代入方程

Q"（x）+T'（？姿）Q'（x）+T（？姿）Q（x）=Pm（x）cos？棕x或Pm（x）sin？棕x。

特别地，当？姿=0时，二阶线性常系数非齐次方程

y"+py'+qy=Pm（x）cos？棕x或Pm（x）sin？棕x

的特解具有形式：

y*=xk[Qm（x）cos？棕x+Rm（x）sin？棕x]，

其中k表示？姿+？棕i=0+？棕i作为特征根的重数。

更特别地，二阶线性常系数非齐次方程（A为非零常数）

y"+py'+qy=Acos？棕x或Asin？棕x

的特解具有形式：

y*=xk（acos？棕x+bsin？棕x），

其中k表示？姿+？棕i=0+？棕i作为特征根的重数，a，b为待定常数。

上述一般高等数学教材里，关于二阶线性常系数非齐次微分方程

y"+py'+qy=Pm（x）e？姿x （7）

（其中p，q，？姿为常数，Pm（x）为m次多项式）的特解都写成如下形式：

y*=xkQm（x）e？姿x ，

其中k是？姿作为特征根的重数。

y"+py'+qy=e？姿x[Pm（1）（x）cos？茁x+Pm（2）（x）sin？茁x]（8）

（其中Pm（1）（x），Pm（2）（x）是m次多项式，？姿，？茁是常数）的特解都写成如下形式：

y*=xke？姿x[Pm（1）（x）cos？茁x+Pm（2）（x）sin？茁x][1]

其中k是？姿+iw作为特征根的重数。

这里，特解形式的确定涉及到？姿是几重特征根，即k值的考察，在教学中较有难度。是否可以不考察k，就能给出特解形式呢？

一、主要结果及推导

首先，为了方便，定义关于r的一元二次多项式T（r）=r2+pr+q为微分方程（7）的特征多项式。

由于方程右端是多项式Pm（x）与指数函数e？姿x的乘积，而多项式与指数函数乘积的各阶导数仍为多项式与指数函数的乘积，因此可以推测

y*=Q（x）e？姿x（其中Q（x）是某个待定多项式）

可能是方程（7）的特解。将y*代入方程，两边消去e？姿x，整理得

（？姿2+p？姿+q）Q（x）+（2？姿+p）Q'（x）+Q"（x）=Pm（x），

即

T（？姿）Q（x）+Q"（x）+T'（？姿）Q'（x）=Pm（x），（9）

其中的系数T（？姿）=？姿2+p？姿+q， T'（？姿）=2？姿+p分别是特征多项式T（r）在r=？姿的值和导数值。

方程（9）是待定多项式Q（x）所应该满足的条件。为了便于记忆，将方程（9）改写成

T（i）（？姿）Q（i）（x）=Pm（x）。（10）

利用以下表格，先豎乘，后相加，很容易记住（10）式左边形式。

由于方程（10）右边Pm（x）是已知的m次多项式，可以推测Q（x）也是某个多项式，且使（10）式左边也是m次多项式。由于（10）式左边的系数T （i）（？姿）（i=0，1）可能不为零，也可能为零，因此待定多项式Q（x）可能是m次，m+1次或 m+2次多项式，即Q（x）可能是最高次数为m+2次的多项式，称之为疑似m+2次多项式，记为Q（x）=Qm+2（x）。

综上分析，二阶线性常系数非齐次微分方程

y"+py'+qy=Pm（x）e？姿x

的特解具有形式：

y*=Qm+2（x）e？姿x，

其中Q（x）=Qm+2（x）是疑似m+2次多项式。

有了特解y*的上述形式后，把y*代入给定的微分方程，或把相应的Q（x）=Qm+2（x）代入方程（10），利用待定系数法，即可求得特解y*。

特别地，方程y"+py'+qy=Pm（x）的特解具有形式：

y*=Qm+2（x）。

更特别地，方程 y"+py'+qy=A（A为非零常数）的特解具有形式：

y*=Q2（x）。

按照同样原理，可以得出：

二阶线性常系数非齐次微分方程

y"+py'+qy=e？姿x[Pm（1）（x）cos？茁x+Pm（2）（x）sin？茁x]

（其中Pm（1）（x），Pm（2）（x）是m次多项式，？姿，？茁是常数），其特解具有形式

y*=e？姿x[Qm+1（1）（x）cos？茁x+Qm+1（2）（x）sin？茁x]，

其中Qm+1（1），Qm+（2）（x）是疑似m+1次多项式，且

Q（x）=Qm+1（1）（x）cos？茁x+Qm+1（2）（x）sin？茁x

满足

T（i）（？姿）Q（i）（x）=Pm（1）（x）cos？茁x+Pm（2）（x）sin？茁x（11）

特别地，方程 y"+py'+qy=e？姿x（Acos？茁x+Bcos？茁x）， （A，B为常数）的特解具有形式

y*=e？姿x[Q1（1）（x）cos？茁x+Q1（2）（x）sin？茁x]。

更特别地，方程y"+py'+qy=Acos？茁x+Bsin？茁x（A，B为常数）的特解具有形式

y*=Q1（1）（x）cos？茁x+Q1（2）（x）sin？茁x]。

二、意义及举例

引入疑似“加次”多项式，求特解的优点是：不通过特征根就可以求特解。

例1：求方程y"-5y'+6y=xe2x的特解。

解：设特解为y*=（ax3+bx2+cx+d）e2x。

把Q（x）=ax3+bx2+cx+d 代入

T（i）（？姿）Q（i）（x）=x。

得（6ax+2b）-（3ax2+2bx+c）=x？圯a=0，b=- ，c=-1，

故一个特解为y*=（- x2-x+d）e2x。

注：特解中还含任意常数d，对应项d·e2x其实是“齐通”中的项，因此保留此项也行，特取d=0也行。

例2：求y"-2y'+y=x的一个特解。

解：设一个特解为y*=ax3+bx2+cx+d，代入方程得

（6ax+2b）-2（3ax2+2bx+c）+（ax3+bx2+cx+d）=x

？圯a=0，b=0，c=1，d=2。

故y*=x+2。

例3：求y"-2y'=4的一个特解。

解：设一个特解为y*=ax2+bx+c，代入方程得

2a-2（2ax+b）=4？圯a=0，b=-2。

故y*=-2x+c。

注：其中任意常数c或保留或特取c=0都行。

参考文献：

[1]李德新.高等数学（上）[M].北京：科学出版社，2014.