常见离散型概率分布及其联系

邵逸辰

摘 要：本文在第一部分主要介绍了五种常见的离散型随机变量，其中前四种随机变量主要是和伯努利试验相关的随机变量，并且详细计算了前四种随机变量的数学期望。本文在第二部分主要探讨了超几何分布和二项分布的关系，并给出了极限意义下超几何分布逼近二项分布的结论。

关键词：离散型随机变量 数学期望 极限分布

一、常见离散型概率分布及其数学期望

本小节主要介绍一些常见的古典概率模型，并简单计算出这些常见离散型随机变量的数学期望。[1]

1.伯努利分布

2.二项分布

二项分布是伯努利分布的推广，在n次伯努利试验中，我们定义随机变量X2为事件A发生的次数，则称随机变量X2服从二项分布，记作。

3.几何分布

假設某人射击每次中靶的概率为p，并且每次射击互不影响，（相当于n次伯努利试验），若将射击进行到有一次中靶为止，我们定义随机变量X3为总共射击的次数。我们称随机变量X3服从几何分布，记作。

4.帕斯卡分布

帕斯卡分布是几何分布的推广，假设某人射击每次中靶的概率为P，并且每次射击互不影响，若将射击进行到有r（这里r为正整数）次中靶为止，我们定于随机变量X4为总共射击的次数。我们称随机变量X 4服从帕斯卡分布，记作[3]

5.超几何分布

假定在N件产品中有件M次品，其余产品为正品，在N件产品中随机抽取n件产品，记X5为次品件数，则称随机变量X5服从超几何分布，记作。

二、离散型随机变量之间的联系

超几何分布与二项分布在极限意义下是统一的，即超几何分布在极限意义下（总产品数N足够多时）逼近二项分布，在下文我们给出这个结论。

故当N足够大时，超几何分布逼近了二项分布。

从超几何分布和二项分布所代表的实际意义来看，我们假设次品总数M占产品总数N的比例一定，也就是说次品的概率是确定的，并且当产品总数N足够多，抽取的产品数n比较少时，我们进行有放回的抽取产品和无放回的抽取产品，抽到次品的概率几乎是不变的，也就是说从所有产品抽取n件产品出来，可以看作是一件一件抽取出来的，即可以看作是n次独立重复试验，这样超几何分布在极限意义下（总产品数N足够多时）逼近二项分布。

结语

本文所介绍的伯努利分布、二项分布、几何分布和帕斯卡分布都是和伯努利试验相关的概率分布，但超几何分布并非和伯努利试验相关的概率分布，主要系从超几何分布实际意义来看，抽取产品是无放回的，但当总产品数N足够多时，无放回的抽取产品可以看为伯努利试验，这样超几何分布也可以看作是和伯努利试验相关的概率分布。

参考文献

[1]庄光明.于兴江.刘启德.孙守斌.基于伯努利试验的概率分布及其应用[J].聊城大学学报（自然科学版）自然科学版.2009.22（3）：34-37.

[2]曹四清.相映生辉的四种概率分布[J].中学生数理化：尝试创新版.2013（2）.

[3]李娜.王磊.浅谈二项分布与超几何分布的数学期望[J].科技信息.2010（28）：544.