一道从教材习题改造成的高三质检试题

晁丰成

摘要：例题、习题是数学教材的重要组成部分，是教师有效教学和学生有效学习的重要载体，数学试卷的命制多数是从教材出发的，本文简要介绍了一道高三模拟试卷第18题的前生今世，以方便大家课堂教学。

关键词：教材；命题；种子；改造；能力立意；专业素养

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）12-087-2

2017年1月，笔者有幸参与了江苏省某大市2017届高三第二次质量检测数学试卷的命题工作，按照命题组长要求，命题小组成员（共计4人）除了每人准备好一套成套试卷备选之外，还要参与重点专题的命题，并敲定试卷初稿。笔者接到重点专题命题任务是圆锥曲线综合问题（暂定试卷第18题），命题偏重方向为圆锥曲线中的定值问题，关注基本不等式求最值在圆锥曲线综合问题中的体现。带着专题任务，笔者进行大量查阅并努力构思、尝试，在试题命制过程中，感触颇多，收获更丰，现将该题的前生今世展示给大家，以期引发交流。

一、在教材中发现“种子”

众所周知，数学教材是数学学习的核心材料，它是教材编写组集体智慧的结晶，不仅具备完整的知识体系和学术权威，更是教师实施教学和学生参与学习的直接载体，所以多数命题者编制试题的第一手材料都是教材，一道成功的试题通常是由教材中的例题、习题加工改造而成，我也不例外，带着命题任务首先反复研究读教材，寻找种子题目，在苏教版教材没有发现理想素材，又扩大了搜索范围，功夫不负有心人，发现人教A版《数学（选修44）》第15页习题13第6题是探究圆锥曲线中的定值问题，非常适合作为本次专题命题的“种子”题目，摘录如下：

题目1：如图，已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a>b>0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB，求证：1OA2+1OB2为定值。

分析：本题是人教版选修4极坐标部分的习题，与长度相关，教材上证明本题预设解法是“极坐标”法，设出A，B两点的极坐标，分别表示出OA2，OB2，在求证问题的指引下题目很快可以解决，以下是教学参考书给出的证明方法。

二、对“种子题目”进行改造

“圆锥曲线中的定值”背景有了，问题才刚刚开始，答案提供的方法是使用极坐标结合椭圆标准方程求解的，而我的命题任务是在直角坐标体系中研究问题，“种子”在直角坐标系的土壤中是否合适是任务推进的关键，按道理，极坐标和直角坐标本质统一，极坐标体系中的问题、方法在直角坐标体系中一定可以借鉴，但是本题要克服题目条件的极坐标暗示，实际上，对本题稍作改造就行了。

题目2：如图，已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a>b>0），直线OA，OB分别交椭圆于A，B两点，且OA⊥OB，求证：1OA2+1OB2为定值。

分析：改造后的题干引入直线，可以提示借助直线与椭圆的交点解决问题，而这完全就是直角坐标体系下研究问题了，以下是在直角坐标体系中本题的解法。

四、结合命题要求出来题目

在1OA2+1OB2=1a2-1b2的背景下，双曲线中的定值问题就圆满解决了，按照要求，本题还要关注基本不等式求最值，而1OA2+1OB2=1a2-1b2恰好可以作为基本不等式模型的“条件等式”，只需要在条件等式的基础上给出合适的目标函数就行，在之前的研究基础上，只要赋予合适数据，题目顺其自然就出来了。

题目4：如图，已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1（b>a>0），离心率e=2，点M（5，3）在双曲线上。

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线l与双曲线交与P，Q两点，且满足OP·OQ=0，求OP2+OQ2的最小值。

分析：命题的第一问是“按常规出牌”，顺便给出合理的数据用来解决第二问，第二问需要设直线方程，求交点坐标，求距离，这都是圆锥曲线部分考查的重点内容，而能否出现求OP2+OQ2最小值所需要的条件等式是本题的关键，極为考验学生的数学能力。

简要参考答案：（1）求得双曲线的方程为x24-y212=1（具体过程略）

命题后的反思：

例题、习题是数学教材的重要组成部分，是教师有效教学和学生有效学习的重要载体，是许多教育专家和一线教师在长期教学实践中沉淀下来的典型案例，更是对数学思想、数学体系的提炼和升华，它具有不容置疑的示范性和权威性。考试命题首选的是对教材中的例题、习题进行加工、改造，试图依靠它们的自身极强生命力和展现力衍生出一系列新的试题，这样一种推陈出新的方式在高考命题中也被经常使用。因此，教师应立足教材、吃透教材，善于在教材的例题、习题中发现考题的“种子”，并努力让“种子”发芽，开花、结果，这既是培养学生学科素养的需要，也是提高教师的专业素养和培养学生创新能力的需要。