从山重水复到柳暗花明

【摘 要】通过对均匀圆台体重心公式探寻历程的回顾，描摩了探索情况下的心理状态，勾勒出思维由混沌走向清晰的思想轨迹。

【关键词】均匀圆台体；重心公式；发现； 思想

【中图分类号】G632.0 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）04-0010-02

这是一个研究的案例，也是一段探索的历史。

2002年春天，我在翻阅物理教学资料时，看到有文章对“圆台体形状的密封容器中盛有液体，将容器倒置后分析液体对底面的压力、压强的变化以及压力与液体重力的比较”类问题的处理时，介绍了“割补法”——过圆台体母线的中点作垂直于两底的垂面，这垂面与两底面间围成一圆柱，得出“此圆柱的体积与圆台体的体积相等”的结论，并画出了割补操作中过中轴线的纵剖面图。直觉告诉我：这个结论有问题——面积割补不等于体积割补，从平面到立体一定是有差异的！

这就是我对圆台体问题进行思考的发端。

研究均匀圆台体的重心位置，缘于对如图所示类型题目的定量分析。圆台体是正圆锥体和圆柱体的一般形式：令“小头”一端的半径收缩为一点，则圆台体演变为正圆锥体；使“小头”的半径扩大到与“大头”半径相等时，则圆台体演变为圆柱体。若能找到它的重心公式，这个公式应包括后二者[1]。

它很好地满足了圆锥体和圆柱体的重心位置，这是一个令人欣喜和振奋的结果！

随后，开始检验这个关系式的可靠性：令R一定让r逐步变大，其重心位置渐渐移向半径为r的那端，当r=3R和4R时，由上述关系式得到的hc分别是h和的荒谬结果！这说明，它还不是我们要找寻的那个公式，真正的重心公式与之相比，还应该有更精细的结构！于是，一切从头再来。

那一段时间，食不知味，睡而无眠，魂不守舍，床头上放着的一摞演草纸上画满了各种图形，写满了若干符号和演算式子，脑子里成天都是圆台体在打转，思绪呈现出混沌的非理性：有关的或无关的因素或明或暗、或近或远、或松或紧、相互交织、相互纠缠……我被这样的思绪紧紧地攫住，有一种令人窒息的兴奋！其思维情状，既像瞎子探路，又似盲人摸象，却始终不得要领。

我首先全面审视了整个问题，把思路重新梳理了一遍，我的思想渐渐明朗起来：我们研究的是圆台体的重心位置，已知的是正圆锥体的重心位置，而一个圆台体正好可看作是从一个正圆锥体上以垂直于轴线的方向所切得的部分。既如此，我们可给一个圆台体 “补上”一个小圆锥体，使之“还原”为一个“完整的”大圆锥体，使用上文讨论时所用的符号，易得此大圆锥体的高为，

其重心O距底面的距离。现将此大圆锥体

“横躺”放置，假设用细线过重心O将其悬挂并使轴线水平（如图所示），此轴线形同一水平悬挂的轻质杠杆，保持其平衡的二力分别为我们所研究的那圆台体的重力和“补上”的那个小圆锥体的重力；设圆台体的重心C距底面的距离为hc，用杠杆平衡条件列式，再将上面的一系列关系式代入。这是一个较为繁复的式子，恰好我的妻子是一位中学数学教师，在化簡此式求得结果的过程中给了我必要的帮助，于是我们求得。

为了谨慎起见，我们又用高等数学中求旋转体重心（质心）的定义式，用定积分的办法重新解算而得到了相同的结果。这时，我们才确信：我们终于找到了均匀圆台体重心位置的制约因素，并确定了这些因素间的数量组合关系——均匀圆台体重心公式！

我们将此项研究整理成文，大约于2002年7月份联署寄给了《数理天地（高中版）》杂志社，很快收到时任该刊物理版编辑杨金龙老师的稿件采用回信，并安排在该刊2003年第1期发表，当我们拿到还散发着墨香的该期杂志以及收到50元稿酬的汇款单时，已是2003年1月下旬了。

许多事情，在没弄明白之前总感“山重水复”，在豁然开朗之后顿觉“柳暗花明”。在此公式发表十五周年之际，写下一个探索者在“山重水复”阶段苦苦寻觅的万般情状，既是对那段经历的一个回顾，也期望在探索未知问题过程中自己所经历的那些曲折迂回，能对处于研究状态的人们有所启迪。

【参考文献】

[1]黄天君，杜小梅.均匀圆台体的重心公式[J].数理天地（高中版），2003（1）.