基于核心素养的高中生数形结合解题的现状研究

杨 芳

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

1 引言

2 研究方法

2014年3月，教育部印发了《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》，将制订学生核心素养发展体系成为了当前的首要任务。核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力[1]。在数学课程领域，数学核心素养也在研究制订中。高中数学课程标准修订组的专家提出了六种数学核心素养成分：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成了一个有机整体[2]。

2.1 调查问卷

调查问卷是由两部分组成，第一部分主要是考察学生对数形结合思想的认识，由2道题组成。第1题是了解学生对数形结合思想及应用范围的认识；第2题是了解学生认为运用数形结合思想解题的优势有哪些。第二部分主要是考查学生运用数形结合解题的能力，根据数与形转化的方向可以分为三种类型：一是“由数及形”，二是“由形及数”，三是“数形结合相互转化”。问卷第3、4题考查由数及形的解题能力，第5、6题考查由形及数的解题能力，第7、8题考查学生“数”与“形”相互转化的能力。

数形结合思想是数学中极其重要的思想之一，它主要体现了逻辑推理和直观想象两种数学核心素养。“数形结合”一词的出现与华罗庚先生有着密不可分的联系。华罗庚先生用一首词概括了数形结合思想：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离[3]!运用数形结合思想解题，能够将复杂的问题化难为易、化繁为简，使抽象的问题变得具体化，促进了学生对数学知识的理解。文章主要调查研究高中生在运用数形结合思想解决集合与函数部分的现状，以分析存在的主要问题。

2.2 调查对象与实施

2017年6月，在太行中学选取200名高中生进行了问卷调查。时间为30分钟，发放问卷200份，收回200份，有效问卷196份，有效率为98%。

3 调查结果分析

根据学生回答的情况可知，98%的学生听说过数形结合思想，67%的学生认为数形结合主要解决函数、几何以及集合等问题，23%学生只听说过数形结合但是不知道其应用范围，只有62%的学生答出数形结合的优点是方便计算、可以有助于理解，更好的解题。关于第二部分高中生运用数形结合解题的调查结果汇总如表1所示：

表1 高中生解题正确率统计表

从表1中可以看出学生运用“数形结合”解题的整体水平不高。从统计数据也可以看出在解决这三类问题中，数形结合相互转化类型的问题最难，其次是由数及形类型的问题，最容易解决的是由形及数类型的问题。

3.1 “由数及形”问题的调查结果

第3题的正确率仅为21%，本题主要考查学生在解决集合相关运算的解题能力，这是典型的利用图像求解的题目。在同一直角坐标系内画出函数y=x2与y=2x的图像，然后找其图像交点的个数，有3个交点。

主要错误类型一：47名学生利用数形结合的方法解题，但由于在作图过程中没有精确作图，或者是只做出了图像的一部分，只找到2个交点。这种以偏概全、以局部代替整体的做法导致题目解答的错误。

主要错误类型二：21名学生利用代数的方法找特殊数代值以至于漏掉一些解，导致错误。这些学生没有考虑到每个集合中的元素都有无数个，而只列出5个元素。

第4题的正确率是62%。本题是有关指数函数比较大小有关的题目，主要考察学生利用函数图像来比较大小。主要错误类型是学生对指数函数的图像不清楚，不会画指数函数的图像，对题中的代数信息不能准确的转化为直观的图形。有学生将指数函数的图像画出了对数函数的函数图像，以至于出现错误。

3.2 “由形及数”问题的调查结果

第5题主要考查学生由图像求函数解析式的问题。在这道题中是分段函数，所以需要分别求其解析式。有5名学生将图像中的值域看成是[0，2]，把点的坐标代错，并且在作图过程中出现作图不规范、作图不精准。

第6题主要是根据已知图像写出相应的函数关系式，本题的正确率为83%。首先要看图形对应的x轴上的任意一个x是否都有唯一的y与之对应，若是，则该图形是函数的图像；若至少有1个x值存在两个或两个以上的y与之对应，则此图形一定不是函数图像。或者过图形上任一点作x轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图像，否则该图形一定不是函数的图像。其次，还要注意函数的定义域、值域与图像中所示的定义域、值域是否一致。在调查中，主要错误类型是学生将定义域中元素看成是离散的点，函数的基本定义不理解，区间概念没掌握好。

3.3 “数形结合相互转化”问题的调查结果

第7题主要考查利用数形结合的方法比较三类函数指数函数、对数函数、以及幂函数的函数值的大小。有8名学生将三个函数分别画在了三个直角坐标系内，不能直观地比较它们的大小。有17名学生倾向于运用代数的方法解题，这种方法虽然也可以解得正确答案，但使用图形会更直观。

第8题考查利用数形结合的思想求函数解析式，正确率仅为23%。

主要错误类型一：有11名学生在将y=x2+1的图像画错，应该是抛物线却画成了直线，并且不知道对称后的函数解析式是什么。这些学生对二次函数的定义以及图像没有掌握。利用数形结合思想解题时，没有将给出的已知条件等价转化为图形语言。

还有6名学生画出了图像，但所设解析式是二次函数的一般式，导致结果错误。如果知道对称后的顶点坐标就可以设二次函数的顶点式，再找一个点代入就可以得到正确答案。

有部分学生使用代数的方法，将对称后的函数看成是由y=x2+1向右平移了2个单位，然后根据平移的性质，“上加下减，左加右减”得到最后的答案。这种方法具有一定的局限性，如果换成其他类型的函数，则这种方法就不适用了。

4 结论与建议

通过调查可以看出学生运用数形结合思想解题的意识不强。例如，在问卷第3题中有部分学生采用代数方法解题，以至出现错误。因此，在教学中教师要注重对数形结合思想方法的渗透。例如在讲解集合时，教师可以借助数轴、韦恩图等来讲授集合的有关概念与相关运算，向学生渗透数形结合思想。在学习函数时可以通过图像的直观性来讲解函数的单调性，对数函数、指数函数、以及幂函数的性质，以强化学生利用图像来掌握基本概念。