基于齿轮箱故障诊断的AR模型中Burg法的优化

郭幸胥飞

（上海电机学院电气学院，上海201306）

0 引言

随着现代工业设备功能越来越多，结构也越来越复杂，设备传动部分的故障诊断技术得到了广泛的应用。复杂的工作环境下齿轮箱的振动信号变得复杂无规律，齿轮出现微小的瑕疵会在振动信号中产生谐波，使得信噪比变低，幅值成分增多。所以高分辨率、高抗噪能力的功率谱估计法在处理复杂振动信号的领域尤为重要[1]。现代功率谱估计法为基于参数模型的方法，其中基于AR模型的功率谱估计是现代功率谱估计中常用的一种方法[2]。

1 AR模型的建立

在功率谱估计的参数模型法中，随机信号x（n）可看作是一个白噪声u（n）经过一个线性系统得到的输出。AR（P）模型可用如下差分方程来表示[3]：

式中，u（n）是均值为零、方差为σ2的高斯白噪声序列；P是AR模型的阶数；ap（i）是P阶AR模型的参数。

在利用AR模型进行功率谱估计时，必须计算出AR模型的参数和激励白噪声序列的方差。

2 AR模型参数估计的Burg法

在实际应用中，根据信号的有限个取样值来估计AR模型的各阶参数，应用较多的主要有以下三种方法：Yule-Walker法、协方差法、Burg法。Burg法使用的准则是前向预测误差功率估计和后向预测误差功率估计的平均值最小准则，表示为：

式中，ε是前向预测误差功率估计和后向预测误差功率估计的和n）2是P阶的前向预测误差功率估计n）2是P阶的后向预测误差功率估计。

当前预测误差与前向后向预测误差的关系为：

在式（2）中对ε求γp的偏导数并令其为0，求得反射系数γp为：

3 对Burg法的优化

文献[4]提出了二阶（PEF）系数倒推法，基本思想是从二阶PEF平均误差总功率入手，先计算二阶PEF系数，再倒推回来计算一阶PEF系数即一阶反射系数γ1）；文献[5]对前向、后向预测误差进行加权运算，从而提高估计精度。它们分别从减小估计参数的误差和减小前后向的误差角度入手，实现对Burg法的优化。

在进行参数估计计算时，每一阶的参数都是从前一阶参数估计而来，由于每阶的计算都存在预测误差，导致累积误差越来越大。为减小这种累积误差，本文对式（3）、（4）中P阶前后向预测误差的计算方法做如下修改：将P阶的前后向预测误差计算中的相邻阶预测误差替换为P阶之前所有阶的预测误差的平均值。这样就避免了相邻阶预测误差过大时，对下一阶的预测值波动造成较大的影响，提高了功率谱估计的计算精度。

因此，式（3）、（4）可改写为：

现将反射系数γp重新推导如下：

已知式（2）、（6），在式（2）中对ε求γp的偏导数并令其为0，得：将式（6）代入式（7）求得优化后的反射系数：

4 实验与结果分析

实验采用QPZZ-Ⅱ旋转机械振动实验平台系统，该实验平台可模拟滚动轴承故障和齿轮故障。主要参数为：0.75 kW马达，最大转速1 450 r/min；大齿轮3只（正常、点蚀、断齿），齿数75；小齿轮3只（正常、点蚀、断齿），齿数55。本次实验使用点蚀大齿轮做实验对象，转速为880 r/min，分两次采集输出轴负载侧轴承的加速度信号，采样频率为1 kHz。

将实验采集数据导入Matlab，分别使用Burg法和优化后的Burg法绘制同一信号的功率谱。为避免阶次误差对对比结果产生影响，统一采用FPE准则进行AR模型阶的估计。在同一采样频率和同一阶次的情况下对比两种方法所得的结果，图1为原始振动信号，图2为两种方法的功率谱估计结果。

由图2可知，采样频率为1 kHz时，在FPE准则定阶下，传统的Burg法得到的功率谱含有较多的边频成分；优化后的Burg法在体现出真实谱峰的情况下，边频成分明显减少，谱分辨率提高。实验表明，优化后的Burg法在齿轮箱故障诊断应用上能够得到较好的结果。

图1 振动信号

图2 功率谱图

5 结语

AR模型作为功率谱估计方法中最常用的方法之一，多年来不断得到完善和发展，广泛应用于航行轨迹、特征提取、故障识别、负荷预测等工程实际问题[6]。但由于其自身固有特性，既要估计模型的参数，又要估计模型的阶次，因此很难评价一个模型的优劣。本文将传统Burg法的P阶前后向预测误差只考虑相邻阶的预测误差改为考虑所有阶次的预测误差的平均值，不再只关注局部误差，而是综合考虑整体误差，提高了功率谱的谱分辨率，也减小了在迭代过程中因某一阶预测误差过大而对其后面阶次的预测误差产生较大影响，