理解问题的角度，决定了解题的方向

徐剑飞

【摘要】解题就是把问题归结为已经解决的题目，从不同角度去理解就会形成对问题的不同归结，解法自然会有较大的差异.本文以一道模考题为例，分别从二次函数最值，绝对值不等式性质角度，二次函数图像与性质角度等三个角度去理解，从而得出不同的问题转化方向.抓住理解问题的角度和转化问题的方向，也就是解题教学的关键所在.

【关键词】理解问题的角度；转化问题的方向；二次函数值差

苏联数学家亚诺夫斯卡娅认为，解题就是把题归结为已经解决的题.同为苏联的弗里德曼在《怎样学会解数学题》中也认为，识别给定问题的类型是解题的第一件事.当然，还有些时候不容易鉴别或者归类（这当然与解题者的能力有关）.此时，对问题理解角度的不同，就会形成对问题归结的不同，解法自然会有较大差异.

问题 设f（x）=4x+1+a·2x+b（a，b∈R），若对于x∈[0，1]，|f（x）|≤12都成立，则b=.

令2x=t∈[1，2]，则已知为g（t）=4t2+at+b，对t∈[1，2]，|g（t）|≤12恒成立.

角度一 将|g（t）|≤12理解为-12≤g（t）≤12，即g（t）max≤12且g（t）min≥-12，从而将问题定性为g（t）的最大（小）值问题，于是有以下的解法.

解法一

当-a8≤1时，g（t）max=g（2），g（t）min=g（1），

从而16+2a+b≤12，

4+a+b≥-12，

-a8≤1.

由①②可得，12-2a-16≥b≥-12-4-a，從而a≤-11与③矛盾，此时无解；

当-a8≥2时，同理有4+a+b≤12，16+2a+b≥-12，

解得a≥-13，但与a≤-16矛盾，此时无解.

同理分析当1<-a8≤32时，32<-a8<2.

可知，仅有b=172满足.（此时a=-12）

说明：把本题视为简单的二次函数最值问题入手容易，除讨论稍显复杂以外解法显得厚重，然而关键之处还在于利用二元不等式组先行求得a的范围（或值），消去b还是消a对解题的影响较大.事实上大多数学生面对形如①②③这样的不等式组是会有抵触情绪的，尤其是一个填空题.当然，还可以从线性规划角度来考查这些不等式组并进而求得b及a的值.但由于有二元二次不等式存在，作图的精确性也难以把握.

角度二 将|g（t）|≤12恒成立理解为关于a，b的几个绝对值不等式，借助绝对值不等式的性质求解.

解法二 分别令t=1，32，2，可得

|4+a+b|≤12，|16+2a+b|≤12，9+32a+b≤12，

故2≥|4+a+b|+|16+2a+b|+29+32a+b

≥|4+a+b+16+2a+b-（18+3a+2b）|

=2.

由等号成立条件可知，有|4+a+b|=|16+2a+b|=9+32a+b，且4+a+b与16+2a+b同号，与9+32a+b异号，

故4+a+b=16+2a+b=12，9+32a+b=-12，①

或4+a+b=16+2a+b=-12，9+32a+b=12，②

解①得a=-12，b=172；解②得方程组无解.

综上所述，b=172.

说明：从恒成立到特殊的几个值成立是本解法的关键之处，然而也正是取特殊值令该解法充满了迷幻色彩——为何取这三个值？是否具有一般性？

角度三 回归到对函数本身的理解上，问题即为寻找一个二次项系数确定的二次函数，使其在区间[1，2]上，图像始终介于两平行直线y=±12之间.

更直观地：将曲线y=4x2怎样平移，可使其在x∈[1，2]上始终夹在y=±12之间.

解法三 退一步的先考查函数y=4x2，研究其在长为定值1的区间上的最大值和最小值之差Δy，由此若要曲线能夹在间距为1的两水平直线间，只有对称轴恰为t=32，不妨令g（t）=4t-322+c.

由g（t）min≥-12知c≥-12.

又g（t）max≤12知c+1≤12，解得c≤-12，

故c=-12.

从而g（t）=4t-322-12=4t2-12t+172，即b=172.

说明：相较于解法一的厚重与解法二的奇巧，解法三更依赖于函数本身的性质，或者说该解法揭示了二次函数的一项重要性质.

纵观三种解法，源自三个不同的理解角度——或最值或绝对值不等式或二次函数的值差，从而也就得出三种不同的问题转化方向，而每种转化都是熟悉的，乃至是根本的.是否可以这样形容：理解问题的角度是解题的灵魂，转化问题的方向是解题的核心；抓住这两者，自然不会因为解题过程的区别与多样性而迷失.

【参考文献】

[1]孙中霞.如何学好二次函数[J].初中生辅导，2014（9）：17-21.

[2]朱佳英.探讨初中数学“二次函数”的教学实践[J].理科考试研究，2014（20）：2.