未知时变惯量航天器自适应姿态跟踪容错控制

高 直，陈 伟，邵 星

GAO Zhi,CHEN Wei,SHAO Xing

盐城工学院 信息工程学院，江苏 盐城 224051

College of Information Engineering,Yancheng Institute of Technology,Yancheng,Jiangsu 224051,China

1 引言

随着航天事业的不断发展，航天器在执行在轨维护、对地观测和深太空探索等航天任务时，要求姿态快速并准确地对参考姿态进行跟踪控制[1-3]。近年来，航天器的姿态跟踪控制问题引起了众多学者的广泛关注，并就此展开了大量的研究。目前，国内外学者在该领域取得了大量的姿态控制理论研究成果，如自适应控制[4-7]、反步法[8-11]、滑模控制[12-15]、有限时间控制[16-19]等方法。

由于太空环境的复杂性，在轨运行的航天器在工作过程中不可避免地会受到外界力矩干扰，这些干扰力矩主要包括太阳光压及重力梯度。此外，由于太阳帆板运动和液体晃动，航天器的惯量会发生未知变化，以及无法准确获知航天器惯量参数信息[4]。对于存在外界干扰和转动惯量不确定性的刚体航天器姿态控制问题，文献[4-6，8，10-12，16，18，20]对此进行了研究。文献[4]基于鲁棒控制、自适应控制和输出调整理论，提出了一种自适应内模方法，实现了姿态跟踪系统的全局稳定。针对存在未知转动惯量和外部干扰力矩的航天器快速大角度姿态机动问题，文献[5]结合非线性反步法和Lyapunov稳定性分析方法设计了带有转动惯量估计值的非线性鲁棒自适应控制律，并证明了姿态机动系统最终一致有界稳定。文献[6]基于自适应反步法和非线性阻尼算法，提出了一种鲁棒自适应控制器，实现了对惯量参数的估计，并且克服了外界干扰，最终保证航天器姿态控制系统全局一致最终有界稳定。文献[11]针对航天器姿态稳定控制问题，设计了一种迭代学习控制方法，分别对外界干扰和缓慢且小幅变化的不确定性构建有界学习控制律，进而给出航天器稳定控制律，实现了姿态跟踪误差有界稳定。文献[20]研究了模型参数不确定性因素下的航天器姿态机动问题，设计了一种保性能控制律，在补偿参数不确定性的同时还能满足系统性能指标的要求，使得航天器在不确定性的影响下能够精确完成大角度姿态机动，在此文中，外界干扰影响未作考虑。

伴随着航天任务的多样性和复杂性，航天器对执行机构的安全性和可靠性要求越来越高。由于航天器长期工作在高低温、失重和强辐射的恶劣环境下，以及长时间的工作，机载元器件会逐渐老化，最终导致执行机构产生功能衰退等故障，进而影响系统的稳定性，随之，航天器的容错控制问题成为近几年的一个研究热点[21-24]。文献[22-23]在惯量设定为定常的条件下考虑系统容错控制问题。文献[22]针对执行机构损失部分效能的情况，设计了一种自适应反步控制策略，使得航天器在外界干扰的环境中达到姿态稳定。文献[23]在不考虑外界干扰的情况下，针对执行机构功能衰退故障设计了一种自适应容错姿态控制逻辑。文献[24]针对具有未知常数惯量不确定性和外界干扰的航天器，设计了一种有限时间自适应滑模姿态跟踪控制器，使得期望姿态能够在有限时间内被跟踪上。航天器执行任务时，由于受燃料持续消耗、液体晃动、太阳帆板运动等客观因素影响，航天器惯量是未知时变的[25-28]。

通过上述研究成果分析，以上容错控制策略并没有同时考虑时变惯量和执行机构损失部分能量情况下的航天器姿态容错控制问题。受上述问题启发，本文针对非刚体航天器在轨运行时受到惯量未知时变性、外界持续干扰以及执行机构部分失效问题，设计了一种自适应姿态跟踪容错控制律，使得航天器在执行机构发生部分失效故障时依旧能够使得航天器姿态跟踪上期望姿态。所提的控制律结构简单，易于工程实现，理论分析和数值仿真验证了该控制策略的有效性。此外，该方法可同时用于刚体航天器的自适应姿态跟踪容错控制，在控制律设计部分已对此进行说明。

2 问题描述

2.1 航天器数学模型

非刚体航天器的姿态运动学和动力学方程[28]为：

注1在刚体航天器动力学模型中，参考文献[1-27]，-J̇ω因子是不存在的。

图1为航天器坐标示意图，航天器绕惯量坐标轴旋转的欧拉角分别为滚转角φ、俯仰角θ和偏航角ψ。XIYIZI为惯量坐标系，XBYBZB为本体坐标系，从惯量坐标系到本体坐标系采用3-2-1的旋转顺序，即按照ZY-X轴的顺序旋转。首先绕Z轴旋转角度ψ，其次绕Y轴旋转角度θ，最后绕X轴旋转角度φ。由于采用欧拉角描述存在奇异问题，且需多次三角运算，而采用四元数描述可以避免此类问题，同时，欧拉角转换为四元数是一对一的关系，运算简单，因此工程上普遍采用四元数描述航天器的运动及动力学中的姿态。四元数与欧拉角之间的转换关系可参考文献[5]中式（7）。ω为本体坐标系相对于惯性坐标系的旋转角速度。

图1 航天器坐标示意图

注2由于燃油消耗和液体晃动等因素导致惯量变化，惯量矩阵可进行合理性假设：航天器在工作过程中，Ji是正定有界的及是有界的。

2.2 控制目标

针对非刚体航天器使用过程中存在未知时变惯量不确定性、位置外界干扰及执行机构衰退故障等因素，设计一种自适应容错控制，使得航天器姿态及角速度误差系统一致有界稳定，即a2，其中，a1、a2为非常小的常数值。

3 控制律设计及稳定性分析

3.1 自适应容错控制律设计

为了便于后面的控制律设计，首先定义一个误差辅助变量S：

对式（7）求导可得：

其中，β是一个正实数。

由于外界干扰、惯量及其一阶导数是有界的，可以得到：

针对系统存在外界干扰和惯量时变不确定性参数，首先利用自适应参数估计外界干扰上界和惯量时变不确定参数，其次利用自适应参数和误差辅助变量进行控制器设计，最终使系统达到一致有界稳定。

本文所提出的未知时变惯量航天器自适应姿态跟踪容错控制律原理如图2。

图2 自适应姿态跟踪容错控制原理

根据图2所示控制原理，设计自适应容错控制律为：

其中，k1、b1、b2、b4、β2和α是正常数，β1是时变的且满足β1()

0＞0；参数̂是抑制惯量不确定性的自适应参数；̂是外界未知干扰最大值的估计值。式（12）～（14）是自适应更新律，根据未知时变惯量和外界干扰对系统的影响进行自适应更新。

注3相比文献[5]中控制方法，该控制律没有对惯量进行单独估计、相应的变量变换以及矩阵Y的计算，控制结构简单，易于工程实现。

注4对于刚体航天器[1-27]，动力学模型表达式中不存在-J̇ω项。因为是有界的，所以不等式（10）仍旧成立。进而，控制律（11）及自适应律（12）～（14）适应于刚体航天器。

为了便于后面稳定性证明，引入以下引理。

引理1[27]对于任意实数x和非零实数y，都有下面不等式成立：

其中，σ＞0，σ的最小值σmin满足σmin=x*(1-tanhx*)，x*满足方程e-2x*+1-2x*=0。

3.2 系统稳定性分析

针对3.1节提出的自适应容错控制器，利用Lyapunov方法进行系统的稳定性分析。

定理 考虑存在未知时变惯量不确定性、持续外界干扰以及执行机构衰退故障的非刚体航天器系统（1）～（3），若采用控制律（11）和自适应律（12）～（14），则航天器误差系统（4）～（6）是一致有界稳定的。

证明 选取Lyapunov函数为：

其中，ε=min(μ1,μ2,μ3) 。

对Lyapunov函数求导并由式（4）～（10）得：

把控制律（11）及自适应律（12）～（14）代入式（17）得：

通过引理1可以得出：

由式（20）可以推导出：

同时：

把式（21）～（22）代入式（19）得：

航天器时变惯量矩阵及初始姿态值见表1，初始角，由式（23）可得误差集：

由式（24）可以得出参数k1、b2数值越大，及b1、b4数值越小，则航天器姿态跟踪系统（4）～（6）稳态误差越小，即控制精度越高，实现跟踪误差系统最终一致有界稳定[29]。

4 仿真验证与比较

4.1 仿真验证

为了验证本文提出的控制器对航天器姿态稳定控制的有效性和鲁棒性，在此给出仿真参数进行数值仿真。

航天器的期望轨迹：

角速度可通过式（2）获得。

外界干扰τd=0.5[0.02sin(t),0.05cos(t),0.03cos(t)]T。执行器效率矩阵B=diag(0.6+0.2sin(t),0.8+0.2cos(t),0.7+0.2sin(t))。控制器参数k1=20，β=1，b1=0.01，b2=60，b4=0.1，β2=0.1，α=0.3。自适应参数初始值速度值

注5为模拟时变惯量矩阵，采用惯量初始值乘以因子cos(0.05t)，仿真时间为[0,20]s。

图3及图4给出了航天器姿态及角速度跟踪误差曲线。从图中可以看出在控制律（11）及自适应律（12）～（14）作用下，尽管非刚体航天器受到执行机构衰退故障、未知时变惯量不确定性及外界干扰影响，仍能很好地完成姿态跟踪任务，跟踪误差最终趋于零点附近一个很小的邻域内，控制器具有很好的控制效果。图5为控制器输出力矩，实际作用在航天器的力矩为此输出力矩乘以执行机构效率矩阵B。图6～图8为控制器自适应参数数值变化曲线。

表1 惯量矩阵和初始姿态

图3 姿态跟踪误差曲线

图4 角速度跟踪误差曲线

图5 控制力矩曲线

图6 参数c估计值曲线

图7 外界干扰估计值̂曲线

图8 参数变化曲线

4.2 仿真对比

为验证不同干扰形式下本文方法的有效性及更高的控制精度，外界干扰选取不同于4.1节的形式τd=[0.1+0.2sin(t),0.4+0.5cos(t),0.2+0.3cos(t)]T,同时与文献[26]进行仿真对比，仿真对象为刚体航天器，即动力学方程（3）中不包含-J̇ω项。惯量矩阵、执行器效率矩阵及期望轨迹与4.1节相同。文献[26]控制器参数选取与所提控制器参数值相同，即k0=k1=20,β=1,σ1=b1=0.01,σ2=b2=60,μ=b4=0.1。由本文方法和文献[26]自适应姿态容错方法所产生的曲线分别用“Proposed”和“Comparison”标注。图9和图10分别表示姿态误差范数和角速度误差范数曲线图。从图中可以看出，姿态及角速度跟踪误差在8 s时可以达到3×10-3，本文方法误差可以达到2×10-3，控制精度更高，并且在不同的干扰模式下仍旧可以快速地使系统达到稳定状态。

图9 姿态误差范数‖‖变化曲线

图10 角速度误差范数‖‖变化曲线

5 结束语

本文研究了同时存在执行机构衰退故障、未知时变惯量不确定性及外界干扰的非刚体航天器姿态跟踪误差系统稳定性控制问题，基于非线性系统鲁棒控制方法、自适应方法及参数估计方法，设计了一种自适应姿态跟踪容错控制方法，并通过对航天器跟踪误差系统的数字仿真，验证了本文方法的可行性及鲁棒性。该控制器克服了执行器衰退、惯量不确定性及外界干扰对系统稳定性的影响，且具有结构简单，易于工程实现等优点。