立体几何法证明椭圆的光学性质

【摘要】首先证明了圆柱体的斜截面是一个椭圆，然后通过用立体几何的方法研究了椭圆的一条重要的光学性质，相比于之前的纯几何法、解析几何法等，证明方法更加的简洁明了，从而使得椭圆的光学性质在更广阔的的领域得以运用。

【关键词】立体几何法 椭圆 光学性质

【中图分类号】O123.2 【文獻标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）14-0037-01

前言

众所周知，用一个不平行于圆柱体底面的平面去截圆柱体，得到的截面是一个椭圆。如图1所示。此外，圆柱体还有一个重要的几何性质，在椭圆中，假设F，S分别是椭圆的左焦点和右焦点，MPN为椭圆的一条切线，且P为切点，连接PF，PS，则有∠MPF=∠NPS，这就是椭圆的光学性质，如图2所示：

椭圆的光学性质对科学生产产生了重要的影响，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯等，因此研究椭圆的这条性质具有着重要的意义。椭圆的这条性质前人已经给出过了一些证明的方法，如纯几何法，解析几何法，甚至包括光学物理等方法，本文从一个新的角度出发，提出了一种新的方法来研究椭圆的这条性质，那就是用立体几何的方法来研究椭圆这个平面几何的性质问题。

说明为了作图的方便，以下的作图用两条平行线来表示圆柱体。

一、椭圆的光学性质

首先，我们来探究一下，为什么圆柱的斜截面是一个椭圆。首先根据椭圆的定义，平面上到两个定点的距离之和（此和要大于两定点的距离）为一个常数的点的轨迹是一个椭圆。下面我们就利用定义来证明圆柱体的斜截面是一个椭圆。

例1 用一个不平行于圆柱体底面的平面去截一个圆柱体，将得到一个截面，然后在圆柱体的内部放进去两个球，并且这两个球刚刚好能放进圆柱体内部（球的截面与圆柱体上底面等大），下球与此截面相切于F，上球与截面相切于S，求证此截面是一个椭圆。

证明如图3所示，任取截面上一点P，过P点作两球的切线PA，PB，切点为A，B，连接PF，PS。

因为下球与截面相切，切点为F，又因为P在截面上

所以PF为下球的切线

因为PA也是下球的切线

所以PF=PA

同理可得PS=PB

故PS+PF=PA+PB（定值）

根据椭圆的定义可得，此截面是一个椭圆，例1得证。

例2 如图4，MPN为椭圆切线，PQ垂直于底面，XQY为过点Q的底面的切线。证明：两条切线在同一平面内。

证明过点P作与圆柱体相切的平面α，显然过Q点作与圆柱体相切的平面与α重合，且XQY在α上。由于椭圆面与α的交线必为椭圆切线（因为椭圆与α相切于点P，故在α内过点P的直线与椭圆只有一交点P，而两平面交线在椭圆面上，故此交线为切线），所以MPN在α上，故例2得证。

例3 如图5，证明，∠MPF=∠NPS（椭圆的光学性质）。

证明既然两切线有交点，故设M为交点，同理，上球部分交点为N。

因为M在椭圆面上，F为椭圆面与球的切点，

所以MF为下球的切线。

所以：MF=MA

又：MP=MP，PF=PA

所以：ΔPFM≌ΔPAM

所以：∠MPF=∠APM

同理：∠SPN=∠BPN

∠APM=∠BPN（对顶角相等）

故：∠MPF=∠NPS，例3得证。

二、结语

从立体几何的角度去分析解决平面几何的问题，是一种比较新颖的方法，此外相对于平面几何、解析几何的证明方法，这种方法思路清晰、证明过程简洁明了。同时，这也就提供了一个解决平面几何问题的方法，在解决平面几何问题时，如果从平面几何的角度出发难以入手时，不妨试试构造空间几何体来解决。

参考文献：

[1]虞关寿，杨志芳.由一道高考题探究圆锥曲线的光学性质及其应用[J].考试与评价，2014（4）：17-20.

[2]杨苍洲.利用圆锥曲线的光学性质求一类最值[J].中学生数学，2011（19）：40-41.

[3]张洪杰.圆锥曲线光学性质的证明与应用[J].河北理科教学研究，2001（4）：9-10.

作者简介：

齐静（1990-），女，硕士研究生，河南南阳人，助教，高校专职教师。