初中《杨辉三角》专题教学设计

傅越超　王加奇

【摘 要】借助一道中考题的解法思路引出“杨辉三角”，通过小组合作等形式探究杨辉三角，结合最短路径数问题来巩固杨辉三角，将抽象的数字结合数学历史，回归生活情境，把握数学问题本质，对初一学生的学习与提高有一定的启发与帮助。

【关键词】杨辉三角；西尔平斯基衬垫；最短路径数

【中图分类号】G633 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2018）21-0030-02

在中学数学教学中挖掘和融入数学史中的数学思想方法，对学生们解题大有裨益，可使问题解决更巧妙。在初中数学的学习中，杨辉三角虽然是《分式的整除》之后的阅读材料，但是杨辉三角却被广泛应用于很多的数学难题当中。因此，开展《杨辉三角》专题课程有一定的必要性。

一、营造问题情境，发现特殊数阵

先给出一道度等级属于“跳一跳，摘得到”的蕴含找规律思想的中考题，需要学生挖掘数据之间的联系，找到规律，巧妙转化并简化数阵，得出答案。最后的化简数阵与杨辉三角相同，由此特殊的数阵来引出对杨辉三角的探索。

问题：观察下列数阵，根据前5行的规律，可知第6行的数依次是：.（2006年山东中考卷17题）[1]

分析：该题所有分数的分子为1，因此可将每个数转化为其倒数，得到的新数阵D2，一些规律显而易见：①每一行的第一个数依次递增，且等于行数；②每一行的数字有对称的特性；③每一行的数字都是该行首个数的倍数……但并不能直接猜测出第6行的数字。引导学生思考：将这个数阵的每一行提出他们的公因数，到新数阵D3，再次观察。此时启发学生，进行再发現：从第2行开始，每个数字都是上一行的左、右两数之和。由此可得到第6行的数：1、5、10、10、5、1。

倒推回D2、D1，得到最终的第6行数：16、130、160、160、130、16。

二、探究新数阵，走进杨辉三角

通过例题中遗留的数阵D3，引出杨辉三角。通过小组合作来探究杨辉三角的特点及规律，并呈现杨辉三角、贾宪三角的数学背景，介绍《释锁算术》、《九章算法》《详解九章算法》的数学地位和历史意义。简单介绍欧洲的帕斯卡三角，让同学们更深层感受到中华文化的博大精深。通过引导学生了解杨辉三角的发展过程，追根溯源，让学生回到历史之中，激发学习的兴趣。

探究1：杨辉三角里的数字，有什么特殊的地方呢？

引导学生进行小组讨论，给出小组讨论结果。

探究2：根据“画线”提醒，还能发现什么呢？

①横线：第n行的数字之和为（n-1）个2相乘之积（图1）；

②斜线：斜线上数字存在递增关系，且前后增量越来越大（图2）；

③斜线加勾：发现斜线上的数字之和等于勾上的数字（图3）。

分析：以上探究1是本节课的重点，探究2是本节课的难点，每一探究环节均分成多个小点分别攻克，由易到难逐步解决，有助于学生思维能力的训练。

三、考虑最短路线，结合杨辉三角

本环节结合当前数学常见题型——最短路线问题，进行深层探究与应用。

问题：杨辉去参加聚会，但是只有他一张从A到O的地图（图4），地图上标明了每条路线，纵横有各5条路。杨辉发现，如果从A处走到O处（只能从南到北，从西到东），地图中存在着好几条路线，且都是最短并不重复，你知道他一共走出了多少条路线吗？[3]

思考：教师引导学生思考，一步步探索题目之奥秘：

①想要搞清楚路线，先得确定什么？A-B的最短路线到底是多长呢？

②我们可否一步一步做，将到达每个路口的路线数全标注起来？

探究：从A点起，标记每个路口的字母（见图5），然后引导探究最短路线数。

我们可计算出每一个路口的最短路径数。观察发现：若绕O点将图形顺时针旋转135°，图中的数据分布与杨辉三角一致。

思考：为什么图中每个路口最短路径数的规律会与杨辉三角一致？

由探究过程知道，每一处路口的最短路径是等于能到达该路口的前一阶段路口的最短路径之和。转化成数学化语言即：每一个数字均是前一行左右两数之和。因此最短路径数的本质其实是杨辉三角排列表。以后遇到相应的最短路径题时，只需将最短路径数问题与杨辉三角结合，既简单又准确，做到“不数自明”。

本节课中，让学生从多方面对杨辉三角进行了解，整节课看似“发散”，实则“集中”，多方探索最后均汇聚到杨辉三角，做到“始于杨辉三角，又终于杨辉三角”。本堂课的教学，既赋予学生一种解题新思路、新技巧，让学生遇到类似难题时能顺利迁移，又增加学生解题自信心，增强对数学学习的兴趣，并为今后进一步学习数学奠定了扎实的基础。

参考文献

[1]岳昌庆.初、高中教学衔接一例——莱布尼茨调和三角形与杨辉三角[J].数学教学研究，2017，36（05）：28-30.

[2]马光喜.西尔平斯基的杰作：衬垫、地毯、海绵[J].初中生数学学习，2004（09）：29-30.

[3]柯成森.矩形网格最短路线探讨[J].中学生数学，2018（05）：22-23.