数学模型在经济类专业中的应用

林晓东

摘要：在经济管理类专业课程中，许多问题需要借助数学模型来求解，可以根据对研究对象的了解程度和建模目的来决定采用什么数学方法。数学和数學模型在经济研究中的作用越来越重要，文章通过案例分析说明了数学模型在经济类专业中的应用。

关键词：数学模型；应用案例；经济类专业

一、引言

上世纪中叶以来，科技迅速发展、社会不断进步，数学向自然科学和社会科学的各个领域迅速渗透，并在工程技术、经济建设及金融管理等方面作用越来越大，甚至可以说是举足轻重。“高技术本质上是一种数学技术”的提法，已被越来越多的人所认识和接受。要充分发挥数学的作用，首先要懂得如何将所要考察的现实世界中的问题归结为一个相应的数学问题，即数学模型，然后才有可能利用数学的工具，去寻找解决原有的实际问题的途径，而整个过程就是通常所说的数学建模的过程。在经济管理工作中，我们所面临的问题是纷繁复杂的，如果需要借助数学模型来求解，不可能孤立地使用同一种方法。我们可以根据对研究对象的了解程度和建模目的来决定采用什么数学工具。

二、案例分析

经济学是这样一门科学，它研究社会对资源的分配，以满足人类发展需求，或者说是这样一门科学，它研究人们之间理性行为的竞争。数学关系在背后起着重要作用，甚至可以说是支配作用。经济学研究中持续了几十年的定量化趋势仍然在继续，数学和数学模型在经济和经济研究中的作用越来越重要。至于在计量经济学、数理经济学和信息经济学等经济学的新分支学科中，数学模型和数学方法更是贯彻始终，起着完全支配的作用。下面举例说明。

（一） 经济增长的索洛模型

经济增长的主要指标是总的产出，建立总产出增长的定量模型无疑是十分重要的。如果要建立一个兼顾所有这些因素的数学模型无疑是十分复杂困难的。1987年的诺贝尔经济学奖获得者，美国经济学家索洛将问题进行简化，建立了经济增长与产出、资本投入、劳动力投入的函数关系，揭示了经济增长的若干本质。

考虑一个经济体系，它作为全球经济的一部分，不受阻挡地利用外来技术，不考虑消费选择，假设总消费占总产出是一个固定的比例。不考虑失业，

令Y（t）表示t时刻的总产出、K（t）表示t时刻的资本存量，L（t）表示t时刻的劳动力。于是，可以建立总产出和资本、劳动力之间的函数关系：

Y=F（K，L）.

因为消费比率固定，资本存量增长率与总产出成正比，于是

dKdt=sY.

其中s为正常数，称为储蓄率。

此外，假设初始劳动力为L0，劳动力的增长率为r，于是成立

dLdt=rL.

于是索洛经济模型可以表述为

dKdt=sF（K，L），K（0）=K0dLdt=rL，L（0）=L0

通常生产函数F是一次齐次函数，例如，取为柯布-道格拉斯函数，有

F（K，L）=AKa L1-a （0

从模型的第二式中容易求出

L（t）=L0ert，

由于生产函数是一次齐次函数，成立

F（K，L）=LFKL，1，

从而K（t）的微分方程可以改写为

dKdt=sLFKL，1

令k（t）=K（t）L（t），有

dkdt=1L2LdKdt-KdLdt=1LdKdt-KL2dLdt，

由此可得k（t）满足的微分方程

dkdt=sF（k，1）-rk.

这是一个伯努利方程，通过变换求解最后可得

K（t）=AsrL（1-a）0（e（1-a）rt-1）+K（1-a）011-a.

（二） 利益分配的合作博弈模型

在经济活动中，若干实體相互合作很多时候比各自单独完成任务更加划算，达到共赢的局面。科学分配收益或分担成本成为能否成功合作的关键问题。那么，应该怎样科学分配收益或者分担成本呢？这种分配问题叫做合作博弈。沙普利给出了这种分配问题一种可行方案。

设I={1，2，…，n}为合作博弈的各方。组合S的效益记为v（S）。第i位成员的分配记为Pi 。P=（p1（v），p2（v），…，pn（v））T 称为沙普利值，

它由效益函数v（S）确定。它的计算公式为

其中Si是I中包含i的所有子集，|S|是自己S中的元素个数（组合S中的参加者数量），w（|S|）是加权因子

v（S）是方案S的获利，v（S＼i）表示在这种合作方式中第i方退出以后的获利。因此，v（S）-v（S＼i）可以看成在这种合作方案中第i方的“贡献”。根据前面的假设，任何一方在任何合作方案中的贡献都是非负的。Pi（v）表示第i方“贡献”的加权总和。下面举例说明。

河的同一边有三个城镇，1在上游，2与1的距离为20 km，3与2的距离为38 km。城镇排放的污水需经过处理才能排入河中。三个城镇的污水处理可以单独建厂，也可以合作建厂。已知建厂的费用为f1=73w0.712（单位：千元），铺设管道费用为f2=0.66w0.51c（单位：千元），其中w是污水量（单位：吨/秒），c是管道的长度（单位：千米）。如果三城镇的污水量分别为w1=5，w2=3，w3=6，试制定一个合理的建厂方案。

于是可以计算出存在的五种建厂方案的总费用：1.三城镇分别建厂。建造费用分别为

F（1）=73×50.712=230（千元），F（2）=73×30.712=160（千元），F（3）=73×60.712=261（千元），总费用为651千元。2.城1、2合作，在城2处建厂，城3单独建。建造费用为F（1，2）=73×（5+3）0.712+0.66×50.51×20=351（千元），总费用为612千元。同理可得，3.城2、3合作，在城3处建厂，城1单独建。建造总费用为623千元。4.城1、3合作，在城3 处建厂，城2单独建。建造总费用为650千元。5.三方合作，在城3处建厂。总费用为580千元。第5种方案是费用最少的，接下来关键问题是怎样分担这笔费用。

如果不采用沙普利的方法，人们首先想到的是根据污水排放量平均分担费用的办法。于是，城1应该分担V（1）=55+3+6×580=207（千元），同理，城2应分担V（2）=124（千元），城3应分担V（3）=249（千元）。但是，按这种方案，城1、2、3分别可以节省23千元、36千元、12千元，看起来不太合理。

再给出一种方案：建厂费用按排污量分担，2、3段管道费用由1、2两城负责，1、2段管道费用则城1单独负责。看起来公平合理，算下来发现，城3费用为V（3）=55+3+6×73×（5+3+6）0.712=205（千元），而城2和城1的费用则分别达到138千元和237千元，城1承担的费用大于单独建厂费用，这就明显不合理了。

把节省的投资额当成收益，用沙普利的方法，计算各方省下的资金额。或者直接以建造费用当作效益函数来计算沙普利值，从而算出各方应该负担的费用。可得p1=209（千元），p2=125（千元），p3=245（千元）。按此比例分担总费用，每秒吨的费用为城1为41.8千元、城2为41.67千元、城3为40.83千元。各城节省的费用差距较小，所以这种分摊结果更合理。

三、结语

数学模型在经济理论研究和实践中发挥着重大的作用，但是我们也必须认识到它的局限性，它只是一种分析工具，不能用数学模型来代替经济学，只能在合理范围内应用数学模型解决问题，发挥它的作用。因此，我们必须对数学模型有一个客观正确的认识，以便利用数学模型更加有效地为经济研究服务。