最优设计与三重联结

林革

下列三张图片分别是蜂巢、肥皂泡和乌龟壳，你能看出它们有什么共同之处吗？

我先讲一个发人深省的案例：

A、B、c、D是4座城市，分别位于一个边长为100千米的正方形的4个顶点。由于各市人们出行和商业贸易的需求，上级管理部门决定建设一个高速公路网连接这4座城市。为节省建设经费，高速公路总长度越短越好。上级管理部门公开招标后，各种设计方案陆续被提交。

第一个是口字形方案，高速公路的总长度为AB+BD+DC+CA=100×4=400（千米）。这个方案中规中矩，但跟其他3个方案相比，总长度较长的劣势显而易见，所以首先被否决了。

第二个是Z形方案，高速公路的总长度为AR+CD+RC=100×2+（千米）。它比第一个方案好，但与第三个方案相比仍有不足，被弃用也不足为奇。

第三个是H形方案，高速公路的总长度为AC+BD+MN=100×3=300（千米）。在中间建一条路MN，总路程短得多，与前两个方案相比，这个方案的优势非常明显。不过，它仍不及第四个方案。 第四个是x形方案，不仅形式简洁，而且高速公路总长度更短。高速公路的总长度为比第三个方案中的高速公路总长度缩短近20千米。

至此，许多人都有了相同的结论：X形方案是最优设计方案。

果然如此吗？结果出乎大家预料，甚至让大家大跌眼镜，因为又有人送来一个令所有人眼前一亮的方案。这个方案看上去并不简洁，但经得住推敲，最终使人确信它才是最优设计方案。

当然，这里的计算有些繁琐。不过，我们只要具备数学基础知识，就能计算出来，何况旁边还有直观的辅助计算图。在直角三角形那么30°角所对的直角边GE=57.735×1/2=28.8675（千米），EF=100-28.8675×2=42.265（千米）。所以，在这个方案中，高速公路总长度为AE+EC+BF+FD+EF=57.735×4+42.265=273.205（千米）。

你瞧，这个数据比第四个方案的数据少近10千米。跟高速公路的总长度相比，10千米不算长，但铺设10千米的高速公路的费用绝对不是一个小数目。所以，第五个方案才是最优的。

我们可以发现，在这个最优设计方案中，E、F两点处分别有一个三岔路口，相交于E或F的三条高速公路两两相交成120°的夹角。也正因为这样的特点，高速公路的总路程才最短。那么，设计者是如何想到这个方案的呢？

现在，我们要谈一个概念——三重联结。它是指三条线段两两相交且形成相同角或相近角的现象。这种现象在自然界中和生活中并不少见，最具典型性的就是蜂巢的结构。早在公元前3世纪，希腊数学家就研究过：蜂巢的正六棱柱是最经济的形状，在相同的条件下，它的容积最大。现代科学家测量后发现蜂巢的壁厚约为0.03厘米，用42克蜂蜡制作的蜂巢能储存蜂蜜1270克。

人们受启发，设计了采用蜂巢结构的无线电覆盖方案。这种方案，与能覆盖同样范围的其他方案相比，所需建的塔台个数最少，大大节省了建设资金。而且，人们可以在相邻的区域内选用不同的频率通信，以避免干扰，获得理想的通信效果。

现在，我们就明白了，其实第五个方案是蜂巢结构平面截图的局部。如果你想亲手制造这種三重联结现象，可以在透明塑料板上用4枚直立的钉子代表正方形的4个顶点，然后把它们浸入肥皂水，过一会儿，取出它们，观察所形成的肥皂泡的形状。

万物皆有道，自然可为师。如果我们善于观察、思考，从生活和自然中获得灵感，便能不断收获惊喜哟！