奏响“创新型解析”的集结号

山东 尹承利

由《教学考试》杂志社主办的原创研发项目，为我们提供了广阔的教育、教研平台，基于学生思维过程展开的“创新型解析”模式，犹如出水的芙蓉，为“原创、研发”增添了一道亮丽的风景线，它更像声声催人奋进的战鼓，为老师们的自我展示奏响了集结号.“让解析成为原创题的闪光点和深入点”已成为我们数学原创研发团队老师们的共识！那么，如何进行原创题的创新解析？又以什么样的形式创新解析？笔者就参与“创新型解析”的过程和实践，并结合第二阶段的原创试题，谈一谈感悟和认识.

一、创新模式，花开别样

“坚持能力立意、诉诸试题本源、突破传统模式”应是“创新型解析”的切入点，“以生为本、展示能力递进关系、促进学生思维素养的发展”应是“创新型解析”的落脚点.

1.客观题模式

( )

A.(1,2)

B.[-2,2)

C.[-2,2]

D.(-2,2)

【创新解析】

【备考点睛】解题的关键是先由正弦定理表示b,c，再通过三角恒等变换将b-c表示为角B的函数，再求最值.解决此类题要掌握正余弦定理，熟练边角互化以及三角公式的灵活应用.

示例2.(原创卷)已知圆C的圆心在第一象限，若圆C与y轴相切于点A(0,1)，与直线x-y+1=0的一个交点为B，|AB|=2，则圆C的标准方程是

( )

【创新解析】

设圆C的半径为r，

设出圆心坐标

【备考点睛】解决此类题的关键是设出所求圆的圆心坐标和半径，列出方程(组)，即可解得所求圆的标准方程.

【创新解析】

因为|a|=1，|b|=2，所以|a+b|2=

(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×1×

a2和数量积

定义转化

【备考点睛】本题涉及到两个向量的模和夹角，利用向量模的公式、两个向量数量积的定义及|a|2=a2的转化是求解的关键.

2.解答题模式

示例4.(原创卷)已知动圆P过点A(2,0)，且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

【创新解析】

当y0>0时，y1=y0-2，y2=y0+2.

【备考点晴】解析几何的核心就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程.轨迹(曲线)问题正是体现这一思想的重要表现形式，探求轨迹(曲线)的方程是解析几何的基本问题之一，历年都是高考的热点.求轨迹(曲线)方程的常用方法有：直接法、代入法、定义法、参数法、交轨法等.

解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路是在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

示例5.(原创卷)已知函数f(x)=xex+a(x+1)2，a∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间；

【创新解析】

(1)因为f(x)=xex+a(x+1)2，所以

求导

①当a≥0时，ex+2a>0，

令f′(x)>0，解得x>-1；

令f′(x)<0，解得x<-1.

两类讨论

准确、全

面写出单

调区间

(2)当a>0时，由(1)可知，f′(x)=(x+1)(ex+2a)在区间(-1,+∞)上单调递增，在区间(-∞,-1)上单调递减，不妨设x1<-1

令F(x)=f(x)-f(-2-

x)=xex+a(x+1)2-[(-2-

x)e-2-x+a(-x-1)2]=xex+

0，亦即证x1<-2-x2

因为F′(x)=(x+1)(ex-

e-x-2)>0，所以F(x)在(-∞,

-1)上单调递增，所以

调性，进而确定出

F(x)的范围

所以f(x)

x)(x<-1)，所以f(x1)<

x)<0，代换得到f(x1)<

f(-2-x1)

【备考点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点，属于难题.利用导数研究函数f(x)的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数f(x)的定义域；②对f(x)求导；③令f′(x)>0，解不等式得x的范围就是递增区间；令f′(x)<0，解不等式得x的范围就是递减区间；④根据单调性求函数f(x)的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).

二、加选条目，锦上添花

解析后的“加选条目”，既是对解析的进一步深化，又是一个再创造的过程.通过添加知识拓展、方法归纳、易错点拨、课本溯源、变式探究、考向分析及链接高考等栏目，启迪、引导学生拓展思维，达到由此及彼、触类旁通，从而进一步促进学生数学素养的提高.

示例6.(原创卷)复数z满足z·i=3-i，则复数z的虚部为

( )

A.-1 B.3 C.-3 D.-3i

【考向分析】对于复数、几何表示、共轭复数、复数相等等基本概念和运算都是核心，可能沿袭这样的思路，in没有考查过，这需要引起注意.

示例7.(见示例1).

【知识拓展】辅助角公式：

示例8.(见示例2).

【方法归纳】求解直线与圆的位置关系问题时，为避免计算量过大，要数形结合，充分运用圆的几何性质.比如，圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可用半径、弦心距、半弦长构成直角三角形；涉及到圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径等.

【变式探究】若圆C与y轴相切于点A(0,1)，与直线x-y+1=0的一个交点为B，|AB|=2，则圆C的标准方程是_______.

【创新解析】

三、创新解析，绵绵未了