“形似质异”的函数问题

在数学函数的学习中，常常会犯一些错误，这可能是对于题义理解不清上产生的，也可能是对数学概念的理解不到位产生的，等等。是能对这些题目作对比处理，可使学生摆脱负迁移，走出思维误区，提高数学学习的能力及自信心。文通过对几组易错问题进行比对分析，对学生以后的解题起到一种“警示”作用。

一、对数函数的定义域和值域

【例1】（1）函数的定义域为R，求 a的取值范围

（2）的值域为R，求a的取值范围。

【分析】上述例题是关于定义域和值域的问题，一词之差，相隔万里，含义截然不同。

（1）要求的值域必须为正实数集的子集，而（2）则要求正实数集应该为值域的子集，学生对于题干的理解模糊，很容易出现错误，解析如下。

【解析】（1）根据题意得，对于一切的x∈R均成立，所以不等式对应的方程的

（2）根据题意得，只需函数取遍（0，+）上的所有值即可，所以方程的，即或.

【点评】对于对数函数定义域和值域为R的不同情况，应该注意区分。

二、二次函数中二次项系数含有参数

【例2】（1）若函数有负值，求实数a的取值范围

（2）若函数有负值，则实数a的取值范围。

【分析】这两道例题看似相似，却有着质的区别。题（1）中要求二次函数可以取到负值，结合二次函数的开口方向，只需要函数与x轴有两个交点即可，即对应方程的△>0即可。题（2）中对参数a需要进行分类讨论。

【解析】（1）根据题意得，有负值，

即对应二次方程的，即或

（2）根据题意得，对参数a的取值进行分类讨论

①当时，

为一次函数，值域为R，可以取到负值，满足题意

②当时，

为开口方向朝上的二次函数，要使二次函数可以取到负值，及对应方程的，即。

③当时，

为开口方向朝下的二次函数，可以取到负值，满足题意。

综上，a的取值范围为。

【点评】若二次函数二次项系数含有参数，必须对参数进行分类讨论。

三、区间与对称轴的位置关系

【例3】（1）若函数的定义域和值域均为 ，求的值

（2）若函数的定义域和值域均为，求b的值。

【分析】这组例题都是二次函数定轴动区间的问题，这也作为二次函数学习的重点和难点，需要对对称轴和区间的位置进行讨论。

【解析】

（1）依题意得，是开口方向朝上的二次函数，对称轴为x=1，

定义域在对称轴的右边，函数在定义域上为单调递增函数，

所以，

解得，，。

（2）依题意得，是开口方向朝上的二次函数，对称轴为，定义域在对称轴的右边，函数在定义域上为单调递减函数，

所以，

解得，。

【点评】若二次函数是定轴动区间，必须对对称轴和区间的位置进行讨论。

四、复合函数的解析式

【例4】（1）若，求的解析式

（2）若，求的解析式。

【分析】这两道题均是求解函数解析式的问题，这两种求函数解析式的题型极易混淆，做题时容易产生错误，需要引起注意。

【解析】

（1）依题意得，已知的解析式，要求 。可在解析式的右边拼凑出“”，即把 当做整体来处理，在解析式两边将用代替。

所以，

用x代替等号两边的3x+1，故。

（2）依题意得，已知的解析式，要求。可以用代入法求解

所以，

故。

【点评】要求复合函数的解析式，必须將内层函数作为新的变量带入原来的函数解析式中。

综上，在平时的教学过程之中，正确地处理一些形似而本质不同的问题时，一方面，可以加深学生对基本概念、基本知识、基本解题技能的掌握  另一方面，也可以通过习题来扩充学生逻辑思维的严谨性，增加学生识别题目的能力，这样才能更好的掌握知识。

作者简介：

侯丽莎，女，2013年7月毕业于陕西师范大学数学与应用数学专业，2017年6月取得陕西师范大学学科教学（数学）硕士学

位。