基本不等式应用难点的突破策略

郭玮玲

【摘要】本文详细分析了学生在基本不等式应用中的困惑，提出在基本不等式应用中的六大难点，并针对性给出突破策略，在各自不同的难点突破中得出通性通法：无论哪种难点最终都通过合理变形构造出满足基本不等式的条件。本文对引导学生突破基本不等式应用困难有启发性。

【关键词】基本不等式 应用难点的突破策略

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）05-0282-02

一、基本不等式的地位与作用

基本不等式又称均值不等式，是每年高考中不可缺少的解题工具，是高考重要的考点，既是热点又是难点，要求掌握定理，并会简单应用。基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，是不等式变形的一个重要依据，是解决最值问题的有力武器。高考中可单独命题，也经常结合数列、函数、不等式等知识综合考查，难度一般较大，也常结合实际问题，以解答题形式出现。

二、学生的困惑

学生应用困难表现在：1）不能在具体情景中识别或应用基本不等式 2）运用基本不等式常常出错 3）在比较隐蔽的条件中无法建构基本不等式。

三、基本不等式应用难点的突破策略

如何才能正确地灵活地使用基本不等式，我们应该掌握它的使用规律，本文尝试通过几道例题揭示基本不等式应用难点的突破策略。

难点一：多变量条件下求最值——突破策略：消元或换元，创造基本不等式应用环境。

例1.设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为

（A）0 （B）1 （C） （D）3

【解题指南】此题可先利用已知条件用来表示，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入，进而再利用基本不等式求出的最值.

【解析】由，得

所以当且仅当时取等号此时，

【答案】B.

难点二：以相等关系隐藏不等关系——突破策略：利用基本不等式消元构造新的不等式。

例2.（2011浙江高考题理16）设为实数，若，则的最大值是__________.

【解题指南】利用基本不等式将已知定值式中的均转化成含的不等式，再求的最大值.本题的解法过程体现了“消元”的思想，所求目标函数是和的形式，那我们就设法消去条件等式中的乘积，方法就是利用基本不等式，这里它的作用，一个是消元，还有就是把条件的等式变为了不等式.

【解析】，可解得的最大值为。

难点三：恒成立问题求參——突破策略：参数与变量分离，转化成最值问题再求解。

例3.已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的取值范围为________

【解题指南】首先对恒成立不等式可进行参变分离，。进而只需求得的最小值。将视为一个整体，将中的利用基本不等式換成，然后解出的范围再求最小值即可。

【解析】

解得：或（舍）

（在时取得）

难点四：形式复杂，多次使用基本不等式------突破策略：基本不等式使用条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件。尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件相等。

例4（2010.四川）设，则的最小值是

（A）2 （B）4 （C） （D）5

【解题指南】本题利用凑配的方法来考查基本不等式问题.使用两次时应保证两次等号成立的条件相等。

【解析】

，当且仅当且时，即当时，等号成立，故选B.

难点五：多种知识交汇——突破策略：紧扣目标，审清题意，抓住最值这一核心，构造基本不等式应用条件。

例5.（2015.四川）如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）

（A）16（B）18（C）25（D）

【解题指南】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.

【解析】时，抛物线的对称轴为据题意，当时，即由且得同理，当时，抛物线开口向下，据题意得，得，故应舍去。

时所以最大值为18.【答案】B

难点六、看上去不能用基本不等式——突破策略：对不具备应用基本不等式的条件的关系式，通过引入参数对其中一项进行裂项，与其他两项重组，求出参数的值，为应用不等式铺平道路。

例6.若已知，则的最小值为______.

【解析】当且仅当时，可取得函数的最小值，此时，最小值（下转292页）（上接282页）为。

四、方法小结

从基本不等式的应用各难点来看，每一个例子的解题思路都有各自的特点，但最终都通过合理变形把问题转化为适合使用基本不等式结构的形式。在应用基本不等式求最值要注意：一要“正”：各项或各因式必须为正数 二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错 三能“等”：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

参考文献：

[1]《探究高考基本不等式应用的点线面问题》代宗山《数理化学习（高三版）》2013.11.

[2]《例谈基本不等式难题的“伪装”及破解策略》王荣鑫 《数理化学习》2016.02.