以学定教，初中数学复习课如何做到“以线串珠”

周明剑

【摘要】如果说新授课是“育树”，那么复习课就是“育林”，上好复习课，对学生系统学好数学，发展思维能力，是极为重要的.一节好的数学复习课它的上课形式、操作方法都与新授课有着鲜明的不同之处.数学复习课是要在对平时教学中点状、零散的知识需要系统化，成为线状、网状，以及解题的数学思想、方法和技巧进行相互联系，从而使一堂课显得有条有理、环环相扣，而且重点突出、精彩纷呈，进而使目标能顺利达成.

【关健词】数学复习课 课堂主线 变式 基本图形 数学思想

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018） 11-0295-02

从笔者参加的一些课堂教学活动来看，由“点”“串线”，由“线”及“面”的一种教学模式已成为时下课堂教学设计的主流.这里所说的“点”是教学环节的节点，而所谓的“线”，即是教学的主线，指的是围绕教学重难点设计的贯穿课堂首尾的课堂教学.现在的一些展示课以及一些比赛的课堂教学大多数都有一条十分清晰的主线.课堂中清晰的教学主线使一堂课显得有条有理、环环相扣，而且重点突出、精彩纷呈，进而使知识与技能、过程与方法、情感与态度等这些“面”上的目标能顺利达成.那么初中数学复习课的设计如何做到“以线串珠”呢？在此笔者根据自己课堂教学实践和参的一些教研活动所见所闻，谈点肤浅认识，与同行们进行共同探讨.

一、用“变式”为主线来复习，引人入胜

常规性数学教学模式千遍一律.若能根据复习目标对一道题目进行变化，使之形成一系列的变式，以这些变式为主线来设计整节课，必能给人一种耳目一新的感觉，而且变式的练习更有利于培养学生的创新思维和拓展能力，提高其对知识举一反三，独立运用的能力.这些由浅入深的变式再加上教师精彩的讲解必能让学生在折服中感受到数学的魅力.这未尝不是一种教学方式方法的大胆推进.

【案例1】浙教版七（下）第一章 全等三角形复习：

引题：已知：如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，请你判断AD与BC的位置关系，并说明理由.解答过程如下，请你填空.

解：在△ABC与△________中

∴∠___________=∠___________ （ ）

∴ AD∥BC （内错角相等，两直线平行）

变式1.把引例中的四边形ABCD沿对角线AC剪开，并把得到的两三角形拼成如下图形：

如图2，已知AB=FD，∠B=∠FDE，添加下列条件能判定△ABC≌△FDE吗？能的请说出判定的依据，不能的请说明理由.

①∠A=∠F（ ）②∠ACB=∠FED（ ）③AC=FE（ ）④BC=DE（ ）

变式2.由图3把△DEF作翻折平移变换后得图3，已知AC=DB，∠ACB=∠DBC，

则有△ABC≌△_______，理由是_______________，且有∠ABC=∠_______，AB=________.

变式3.由图4把△BCD作两次翻折变换后得图4，已知BC平分∠ACD，AC=CD，请问BC还平分∠ABD吗？为什么？

这节课以一个平行四边形沿对角线剪开后得到两个三角形进行不断变换为主线，设计自然清晰，过程流畅.整节课看似由一道引题变化而来，但每个变式的设计却各有用意，且详略得当，梯度明显，囊括了全等三角形知识点的方方面面，既让学生掌握了知识，又使学生体会到了数学的变化美.此节课教学主线的创设对教学目标的达成起了主要的作用.

二、以“基本图形”为主线来复习，提炼模型

数学题量，题山题海，多如牛毛，时间和精力都不允许我们一一去做.题型错综复杂，千变万化，变化莫测，虽不能一板三眼，千篇一律，但千变万化，万变不离其中，真正基本概念驳清了，变成一个个知识板块，其本质属性理解透彻，就能收到举一反三，融会贯通的效果.所以，在学习几何说理表达规范的同时，初步感知从复杂图形中区分出基本图形的分解与组合思想；有利于鼓励学生逐步积累有关发现、叙述、总结数学规律的经验.

【案例2】浙教版八（上）第二章 等腰三角形复习片段：

1.基本图形：课本P30例题2，如图1，BD是等腰△ABC的底邊AC上的高，DE∥BC，交AB于点E，判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由.

抽象出图中的基本图形，即BD平分∠ABC（角平分），

DE∥BC（线平行），∠2=∠3（形等腰） 归纳：角平分，线平行，形等腰.

2.直接应用基本图形：如图2，在△ABC中，AB≠AC，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E.

（1）试写出图中所有的等腰三角形；

（2）在（1）中选取一个结论说明理由；

（3）若BD=3，DE=8，则线段CE的长.

3.间接应用基本图形：如图3，一张长方形纸片ABCD，沿对角线AC折叠，AB'交CD于E点，且AB=4cm，BC=3cm，则△B'CE的面积等于 ；

4.“基本图形”的“变形”

如图4，若OC平分∠AOB，且DE∥OC，交OA于点E，判断△ODE是不是等腰三角形，并说明理由.

5.基本图形变形后的直接应用：如图5，在△ABC中，AD为外角∠EAC的平分线，且AD∥BC，求证：△ABC为等腰三角形.

这节课以 “角平分，线平行，形等腰”基本图形为主线，不断变换题型，设计流畅，但每个变式的设计都在围绕“角平分，线平行，形等腰”这个基本图形，且梯度得当，复习了等腰三角形的性质知识点的方方面面，这样让学生掌握了知识的同时又使学生体会到了数学的变化美.此节课教学主线的创设对教学目标的达成起了主要的作用.

许多几何题目都是从一个“基本图形”演变过来的，其思维方式和所运用的知识完全相同.如果不掌握它们之间的内在联系，就题论题，那么遇上形式稍为变化的题，便束手无策，教师在讲解中，应该引导学生对有代表性的问题进行灵活变换，使之触类旁通，培养学生的应变能力，提高学生的技能技巧.

三、用“相关联的情景”为主线来复习，步步为营

【案例3】浙教版八（上）第四章《样本与数据分析初步》

在日常生活中，我们经常会碰到统计量的选择和应用，合理地选择平均数、众数、中位数、方差、标准差这些统计量来进行决策，是这节课复习的重点.

1.复习总体、个体、样本、样本容量

例1.小李就读于某大学旅游管理专业，大学快毕业了，为了找到一份不错的工作，他想了解某市所有旅游公司的业绩情况，他抽查了10家旅游公司的业绩进行了解情况.

请问：该问题中的总体、个体、样本、样本容量分别是什么？

2.复习平均数、众数、中位数的选择与应用

例2.小李了解完这10家旅游公司的业绩情况后，到一家业绩比较不错的旅游公司去应聘，经理说：“我这里报酬不错，月平均工资2500元”.小李觉得还不错就和这家旅游公司签订了一年的合同后就开始实习了，一段时间后，小李找到经理说：“你欺骗我，我问过其他员工，没有一个员工的工资超过2500元的.”经理说：“月平均工资确定是2500元，不信你看工资报表.”

（1）请大家仔细观察表中的数据，讨论该旅游公司员工的月平均工资是多少？经理是否欺骗了小李？

（2）平均工资能否客观地反映员工的实际收入？

（3）你认为用什么数据反映该公司的职工中等收入？

（4）你认为用什么数据反映一般技术员的实际收入？

3.复习方差、标准差的选择和应用

例3.小李在这家工厂工作了2年后，有了一定的积蓄，他的两个大学同学自主创业，各自开了一家网店，生意都做得不错，都想邀请他投资入股.小李考察了这两家网店，前5个月这两家网店的净利润如下表所示：（千元）

你帮小李分析一下，应投资在哪一家好些？

结论：方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量.在在解决实际问题时，我们不仅仅要关注数据的集中程度，也要关注数据的离散程度.在关注数据稳定不稳定时，要关注方差、标准差.

这节复习课以创设相关联的问题情景作为主线来组织复习内容，能激发学生的兴趣，同时利用相关联的问题情景，来组织复习所有内容比较巧妙.

四、以“数学思想”为主线来复习.

培养初中生的数学思想方法，会有效地激发了学生的学习兴趣，充分调动了学生学习积极性和主动性，能使学生的认知结构不断地完善和发展，使学生将已有的思想方法运用在学习新知识的过程中，能够把复杂问题转化为简单问题来解决，提高学习效益，提高学生分析问题和解决问题的能力.而复习课是渗透数学思想的很好的机会，所以能用数学思想为主线的内容，尽量用数学思想为主线来复习.

【案例4】浙教版八（上）第二章 特殊三角形复习片段

1.一个三角形的一边长为3厘米，另一边的长为4厘米，

（1）若这个三角形是等腰三角形，则它的周长是_________厘米.

变式：若等腰三角形的两边长改为2厘米和4厘米，此时三角形的周长又为多少？

（2）若这个三角形是直角三角形，则它的周长是_________厘米.

2.若有一个内角为80°，则底角为多少？（按角的分类进行讨论）

变式1.等腰三角形有一个内角为100°，则底角为多少？（按角的分类进行讨论）

变式2.若有一个外角为80°，则底角为多少？ （按角的分类进行讨论）

变式3.若有一个外角为100°，则底角為多少？ （按角的分类进行讨论）

3.找等腰三角形

（1）如图1，A、B两点是等腰三角形的两个顶点，请在格点上找到第三个顶点C.（按顶点进行分类讨论）

（2）如图2正方形上给定8个点，能构成多少个等腰三角形？（按顶点进行分类讨论）

（3）如图3，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ （按OD为腰和底边进行分类讨论）

这节复习课以数学思想为主线来组织复习内容，因为这节课的最大特点就是数学的分类思想，有边的分类，有角的分类。因此以数学思想为主线来组织复习内容比较科学.

目前，主线式设计模式已成为课堂教学设计的主流，教学的主线是围绕教学重点目标把握教学内容及方法 贯穿课堂教学首尾的主要脉络，使课堂教学结构条理清晰环环相扣，内容重点突出，学生参与性强，富有挑战性，进而使目标得以顺利完成，如果复习课能围绕一个教学主线进行设计，那么复习课的重点目标会高效地进行.

参考文献：

[1]周明星.教育创新途径与趋势[M]中国人事出版社

[2]张奠宙，李士奇.数学教育学导论[M].北京：高等教育出版社，2003

[3]中学生数学教学参考[J].2008年3、5期

[4]李玉琪.中学数学教学与实践研究[M].高等教育出版社，2001