特殊法妙解高考客观题

☉江苏省口岸中学 曹 艳

在解答高考数学客观题中，我们可以结合一些特殊元素来处理相关的问题，比如可以选取一些特殊值、特殊函数、特殊向量、特殊复数、特殊图像（或图形）等.通过特殊法来处理相关的数学问题，往往可以达到非常好的效果，且简单有效，快捷方便.任意一个考生都有一颗巧妙利用特殊法解决客观题的心.下面用特殊法剖析2017年高考真题.

一、特殊值法

在解决一些有关函数、不等式、数列、算法等选择题时，往往可以结合题目的条件，通过特殊值的选取结合题中对应的选项加以排除，进而达到确定正确选项的目的.往往可以简化过程、提升速度.

分析：常规方法是根据分段函数f（x）的图像展开，采用导数法或基本不等式方法来处理，过程繁杂，不易判断.通过特殊值的选取，利用排除法来间接分析与判断，从特殊到一般来确定.

当x=0时，得|a|≤f（0）=3，解得-3≤a≤3，排除选项C、D；

当x=2时，得|a+1|≤f（2）=3，解得-4≤a≤2，排除选项B、D.

故选择A.

点评：通过特殊值的选取，回避复杂分段函数问题、绝对值不等式问题的交汇与综合，简化解答过程，正确快捷得到答案.解决问题的关键是选取合理的特殊值使问题的判断更为快速，以及减少特殊值的选取次数.

二、特殊函数法

在解答一些有关抽象函数的选择题或填空题时，可以选取满足条件的特殊函数加以验证，变抽象为具体，通过特殊函数发现规律，寻求解答方法.

例2（2017·天津理·6）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）.若a=g（-log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）.

（A）a＜b＜c （B）c＜b＜a

（C）b＜a＜c （D）b＜c＜a

分析：常规方法是根据题目条件来分析确定抽象函数g（x）的单调性，进而作出判断，过程比较烦琐.而根据题目条件选择特殊函数法就显得简单快捷，易于操作.

解析：取特殊函数f（x）=x，则g（x）=xf（x）=x2，

从而g（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，而0＜20.8＜21=2=log24＜log25.1＜log28=3，可得g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），亦即g（20.8）＜g（-log25.1）＜g（3），则有b＜a＜c，故选择C.

点评：直接结合抽象函数的性质来分析，比较烦琐.而通过选取满足题意的特殊函数，可以快速准确地解答相关的函数问题，进而得以判断.解决此类问题的关键是根据题目条件选取简单的满足题目条件的基本初等函数，熟练掌握基本初等函数的相关性质是利用特殊函数法解决问题的关键.

三、特殊点法

在解答有关函数图像、平面向量、解析几何等问题时，往往可以通过选取特殊点的方法，非常巧妙地处理与函数图像、向量运算、直线与圆、圆锥曲线等有关的问题，直观快捷，方便易懂.

例3 （2017·山东理·12）已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°，则实数λ的值是______.

分析：常规方法根据平面向量的线性运算确定相应的模以及数量积，结合数量积公式来求解.而根据题目条件通过特殊点的选取，引入平面直角坐标系，可以更为快捷的确定相应的参数值.

解析：取特殊点，设e1=（1，0），e2=（0，1），

点评：通过特殊点的选取，引入平面直角坐标系，从而平面向量的线性运算与数量积的运算问题就可以转化为平面向量的坐标运算，运算起来更为快捷方便，而且不失一般性.特殊点处理，巧妙化解决.

四、特殊复数法

通过特殊复数的引入，可以非常快捷地处理一些与复数性质、运算、判断等有关的问题.通过特殊复数法，可以回避相关复数的四则运算、相关性质以及相关的运算规律，简化过程.

例4 （2017·全国Ⅰ理·3）设有下面四个命题：

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2；

p4：若复数z∈R，则；

其中的真命题为（ ）.

（A）p1，p3（B）p1，p4（C）p2，p3（D）p2，p4

分析：常规方法是设出复数z=a+b（ia，b∈R），根据各命题的条件加以展开来分析与判断.而根据题目条件中相应命题的特征，引入特殊复数，可以“秒”判断.

解析：取特殊复数z=z1=z2=i，

对于p2：由于z2=i2=-1∈R，但z=i∉R，其是假命题；

对于p3：由于z1z2=i2=-1∈R，但z1≠z2，其是假命题.

故选择B.

点评：在判断一些命题真假时，经常可以采用一些特殊元素，利用举反例直接判断其为假命题.这里通过特殊复数的选取，让一般性的复数问题特殊化，使问题简单统一化，简化运算.

五、特殊图形法

在解决一些有关函数性质、立体几何等的选择题中，可以通过特殊函数图像的构造、特殊立体几何图形的应用等实现数形结合，直观判断相应的函数、立体几何等问题.

例5 （2017·全国Ⅲ理·16）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°.

其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）.

分析：常规方法是根据空间直线的位置关系来分析判断，难度非常大，不易操作.而结合题目条件，直接构造特殊的立体几何图形，利用圆锥的特殊情况来解决空间直线的夹角问题.这样就省去复杂的空间几何体的想象与计算.

解析：构造特殊图形，由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，设BC=1，

由 AC ⊥a，AC ⊥b，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图1所示，

连接DE，则DE⊥BD，可得DE∥b，连接AD，等腰△ABD中，AB=AD=

当直线AB与a成60°角时，∠ABD=60°，故BD=

过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF=DE=

图1

那么△ABF为等边三角形，即∠ABF=60°，亦即AB与b成60°角，②正确，①错误，由最小角定理可知③正确；

很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a所成的最大角为90°，④错误.

故填答案：②③.

点评：通过特殊立体几何图形——圆锥的构造，结合特殊圆锥的几何性质来解决空间直线的夹角问题，直观有效，省去繁杂的计算，提高解题效益.

特殊法是解答高考客观题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的策略解题.J