创新无处不在，统计成就好题*

☉江苏省宿迁中学 张满成

创新问题是培养学生能力、优化学生思维品质的极好素材.数学考纲中明确要求：以数学知识为载体，从具体数学问题的条件入手，用统一的数学观点来组织材料，把握数学学科的整体意义与数学内涵，侧重体现对数学知识的理解、掌握和应用，尤其是对数学综合知识的灵活应用.同时以此来检测学生将数学知识迁移到不同知识、生活情境中去的思维与能力，从而检测出学生的个体理性思维的广度、深度和维度等，以及进一步学习的潜能，为终身学习提供条件.当然统计知识的创新问题也是高考创新题重点考查的一种类型.

一、抽样方法中的创新问题

好题1 根据天气预报，某市在接下来的三天内，每一天降雨的概率估计均为40%.为了估计这三天内恰有两天降雨的概率，现在采用随机模拟试验的方法来处理：先利用计算器产生数字0到9之间取整数值的随机数，其中，用数字1，2，3，4表示降雨，用数字5，6，7，8，9，0表示不降雨；接着再以每三个随机数作为一组数据，代表这三天内的降雨情况.经随机模拟试验产生了如下的20组的随机数：

917 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

（1）根据条件估计，这三天中恰有两天降雨的概率估计为______；

（2）根据条件估计，这三天中至少有一天降雨的概率估计为______.

分析：利用随机数表的引入，通过对随机数的分析，结合古典概型的概率公式、对立事件的概率等加以分析与处理.

解析：由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，

（1）设事件A=“这三天中恰有两天降雨”，

在20组随机数中表示三天中恰有两天降雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，

在20组随机数中表示三天中均不下雨的有：966，569，556，989，共4组随机数，

故填答案：（1）0.25；（2）0.8.

好题点睛：本题主要考查随机数表法的应用，古典概型的概率公式与对立事件的概率公式等.此创新问题设置在最简单的随机数表上，问题比较简单，综合与数据、概率的公式等，加以巧妙设置，达到考查知识与能力的目的.

二、统计图表中的创新问题

好题2 以下三个图表，表示的都是某工厂在一到三月的生产产值情况，那么其中图表______表示的产值最高.

图（A）

图（B）

图（C）

分析：通过统计数表的分析，注意到三个图表横、纵坐标的不同意义，不难发现三个图表在图形上看虽然是一样的，但对应表示的产值意义是有很大不同的.

解析：图（A）中，一月份、二月份、三月份的产值分别为：10万元，20万元，30万元，那么由此可知，前三个月的产值合计是10+20+30=60万元.

图（B）中，一月末、二月末、三月末的产值分别为：10万元，20万元，30万元，那么由此可知，二月份的产值是20-10=10万元，同时对于一月末的产值，不一定是一月份的产值，也可能是从头一年某个时间起累积的产值，这样计算下来，前三个月的产值最多也就30万元.

图（C）中，一月份、二月份、三月份的增长值分别为：10万元，20万元，30万元，那么可知，在不考虑出现负产值的情况，则一月份的产值至少有10万元，二月份的产值至少有30万元，三月份的产值至少有60万元，由此可见，该图表表示的产值至少有10+30+60=100万元.

综上可知，图（C）对应的产值最高.故填答案：（C）.

好题点睛：本题主要考查统计的图表信息与应用.不同的统计图表所能传递的信息会有所不同.有些图表传递的信息可能会比其他图表传递的信息更多，有些图表所传递的信息是一样，但有的图表可能会比其他的图表表示更直观一些.一方面给我们提供了多种统计图表的制作方法，另一方面也要求我们在分析理解统计图表时要进行全面的分析，不仅对图表中的数值予以足够的重视，对数值所对应的意义也要认真分析.

三、统计特征数中的创新问题

好题3 已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，方差为s2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，…，axn+b，a x+b（a≠0）的平均数为______，方差为______.

分析：先根据已知数据的特征值建立相应的关系式，再结合新数据的特征通过计算加以分析与处理.

解析：设新数据的平均数为x′，方差为s′2，

好题点睛：本题主要考查统计中的数据特征及其应用.新数据中通过增加一个数据，并在新数据的基础上增加一个倍数并再加上一个相等的数，利用平均数与方差的定义与公式来变式与计算，达到探究与应用的目的.

四、统计综合中的创新问题

好题4 为了了解学习“中国梦”讲话精神的情况，在某单位的一个部门随机抽取10人进行问卷测评，10人的得分为：（单位：分）5，5，6，6，6，7，7，8，10，10.把这10人的得分看成一个总体.

（1）求该总体的平均数；

（2）用简单随机抽样的方法从这10人中抽取2名，他们的得分组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

分析：通过对应的数据，结合总体的平均数的计算公式加以运算，并通过古典概型问题中对基本结果的罗列，结合古典概型的概率公式加以应用.

（2）设“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”为事件A，

从总体中用简单随机抽样的方法抽取2个个体的全部可能 的 基 本结果有：（5，5），（5，6），（5，6），（5，6），（5，7），（5，7），（5，8），（5，10），（5，10），…，（10，10），共9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个基本结果，

事件A包括的基本结果有：（5，8），（5，10），（5，10），（5，8），（5，10），（5，10），（6，7），（6，7），（6，8），（6，7），（6，7），（6，8），（6，7），（6，7），（6，8），（7，7），（7，8），（7，8），共有18个基本结果，

好题点睛：本题主要考查统计中的数据处理问题，古典概型的概率问题等.通过统计与概率的知识交汇，同时在利用概率公式计算过程中又围绕统计的相关知识，真正达到两者有机结合与综合应用的目的.J