基于最速下降法的可展开索网天线型面调整方法

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1. 同济大学 建筑工程系，上海 200092 2. 上海跃盛信息技术有限公司，上海 200240

无线通信、全球卫星导航、高分辨率对地观测、电子侦察及深空探测等领域对星载天线提出了多功能、多频段的要求。星载天线正趋于高精度、大型化发展。随着新型航天材料的研制、设计理念和研究方法的更新,以及试验技术的提高，可展天线在过去20年得到迅速发展[1-5]。索网天线作为空间可展开天线的一种重要结构形式，合理地协调了精度与口径的兼容性问题，具有高度的研发需求和应用价值。根据支撑结构与展开驱动方式的不同，索网天线主要包括伞形天线、环形桁架天线、模块化构架天线等结构方案[6-8]。理论上，索网天线口径最大可达50 m，型面精度最高可达0.2 mm[3]。

预应力索网结构是索网天线反射面成型与精度保持的关键技术[9-10]。以最具代表性的环形桁架天线AstroMesh[7]为例，其双层索网结构由前索网、背索网和张力阵三部分组成。双层索网结构的内部节点通过纵向张力阵连接，边界节点与环形桁架的“硬点”连接。通常，背索网与前索网几何对称，以保证双层索网结构具有良好的热稳定性。国内外研究工作主要针对索网结构的拓扑设计、预应力优化、热稳定性分析等内容，已有较成熟的研究方法和大量的研究成果[11-15]。

此外，由于环境因素(重力)和各种误差因素(制造、装配等)的影响，索网天线必然存在初始型面误差[16-17]。工程上，需要采用相应的试验手段和调整技术以降低上述不利因素引起的初始型面误差[18-19]。在索网天线地面试验中，对于不可消除的重力，需要设计一套合理的重力卸载装置与卸载方案。对于制造与装配误差，传统的调整方法主要依靠人工，经过反复的型面几何测量和张力阵弹簧拉力调整迭代过程，直至初始型面误差满足要求。索网结构具有强烈的几何非线性，调整过程中索网节点位移之间高度耦合。随着索网结构单元与节点数量增多，传统调整方法目的性差、效率低等缺点体现得尤为明显。对此，一些学者提出基于数值优化技术的索网结构型面调整算法，例如将遗传算法[20]、序列二次规划法[21]和进退法[22]与索网结构非线性有限元模型相结合的型面调整方法。

本文从双层索网结构的拓扑关系和平衡方程出发，利用偏导方法推导出型面误差对张力阵拉力的梯度公式，确定任意平衡状态下对型面精度影响最显著的张力阵单元，结合最速下降法，提出一种快速、有效的型面调整方法，为实际工程提供理论依据。

1 分析方法

1.1 型面误差梯度公式

索网结构的型面调整过程，可以看作是索网从含有误差的初始几何逐渐向目标反射面逼近的一系列变形过程。对于双层索网结构，最直接的调整对象为张力阵弹簧，即通过改变弹簧拉力使前索网节点位于目标反射面上。因此，首先推导型面误差对张力阵弹簧拉力的梯度公式，为确定型面调整的优化路径提供理论依据。推导过程如下：

在任意的平衡状态下，双层索网结构几何为：

式中：xf为前索网(front net)节点坐标；xr为背索网(rear net)节点坐标。

双层索网结构的张力为：

式中：tf为前索网索单元拉力；tr为背索网索单元拉力；tt为张力阵(tension tie)弹簧拉力。

双层索网结构的节点外力为：

式中：pf为前索网节点外力；pr为背索网节点外力。

双层索网结构的节点位移为：

式中：uf为前索网节点位移；ur为背索网节点位移。

根据双层索网结构的拓扑关系，将全部前索网、背索网索单元及张力阵弹簧单元的方向向量组装成平衡联结矩阵C，并分块表示为：

双层索网结构张力与节点外力的平衡关系可写作：

(1)

或简记作：

Ct=p

将双层索网结构的柔度矩阵D分块表示为：

双层索网结构的平衡方程可写作：

(2)

或简记作：

u=Dp

假设目标反射面的几何方程为：

(3)

式中：f为抛物面焦距。

型面误差δrms为前索网节点坐标的函数：

(4)

式中：Δxf为前索网节点相对于目标抛物面的几何偏差;N为前索网节点数。

型面误差δrms对弹簧拉力tt的偏导可表示为：

(5)

首先，考虑式(5)右边第一项，即型面误差对前索网节点坐标的偏导。对于前索网的某个节点xf,k(xf,k,yf,k,zf,k)，取其沿焦轴方向到抛物面的距离作为该节点误差，即

结合式(4)，推导得到型面误差对前索网节点坐标的偏导表达式为：

其中，

然后，考虑式(5)右边第二项，即前索网节点坐标对节点外力的偏导。在数值优化算法中，若通过控制优化步长，使相邻优化步之间的双层索网结构满足小变形假设，则某一步优化中前索网节点坐标对节点外力的偏导可由前一步优化所发生的前索网节点位移对节点外力的偏导代替，即

(6)

结合式(2)，式(6)可写作:

(7)

最后，考虑式(5)右边第三项，即节点外力对弹簧拉力的偏导。结合式(1)，该项可写作：

(8)

综上，将式(7)、(8)代入式(5)，得到型面误差梯度的显性表达式为：

(9)

由式(9)计算得到型面误差梯度的无穷范数‖▽δrms(tt)‖∞，可确定该平衡状态下对型面精度影响最显著的张力阵弹簧单元，选其作为型面调整的控制变量，结合最优化算法，快速降低型面误差。

1.2 型面精度调整方法

考虑双层索网结构中索段长度误差对型面精度的影响，采用最速下降法(即梯度法)进行型面调整。目标函数为型面误差δrms，优化变量为张力阵弹簧拉力tt，选择型面误差值下降最快的方向(即负梯度方向)作为搜索方向，具体步骤如下：

2)指定优化精度ε>0，在第k步优化中，由式(8)计算型面误差梯度向量的模量|▽δrms(tt)(k)|并判断精度：如果|▽δrms(tt)(k)|>ε，则选择(tt)(k)处的负梯度方向，即-▽δrms(tt)(k)作为优化搜索方向；如果|▽δrms(tt)(k)|<ε，则停止计算，输出(tt)(k)作为调整后的弹簧拉力；

3)第k步优化步长λ(k)的计算公式为：

式中：α为步长调整因子；Δt为弹簧拉力的单位调整量。

4)令(tt)(k+1)=(tt)(k)-λ(k)▽δrms(tt)(k)，重复步骤2)～3)。

利用Fortran计算机语言编程实现上述基于最速下降法的型面调整方法。

2 双层索网分析模型

建立一个5 m口径环形桁架天线的双层索网模型，如图1所示。前索网、背索网均采用三向网格形式，二者几何对称，索段平均长度约为500 mm。索网边界节点与环形桁架硬点连接，内部节点通过张力阵连接。前索网节点均位于目标抛物面，抛物面焦距为3.0 m。张力阵构件由三段单元串联组成，即中间拉伸段和上、下连接段。拉伸段为线性弹簧，连接段弹性刚度远大于弹簧拉伸刚度。前索网和背索网索段的弹性模量为20 GPa，截面积为1.0 mm2。线性弹簧的拉伸刚度为1.0 N/mm。

图1 环形桁架天线双层索网结构Fig.1 Double-layer cable-net structure of the ring truss antenna

在双层索网结构的数值模型中，前索网和背索网索单元、张力阵弹簧和连接段均为只能承受轴向拉力的两节点单元。对于几何确定的双层索网结构，不考虑结构自重及边界桁架的弹性变形，指定所有的张力阵弹簧拉力为6.0 N，通过找力分析得到设计状态下双层索网结构预张力。前索网预张力分布如图2所示，内部索单元预张力分布均匀，最小值为18.71 N，最大值为26.78 N，边界索单元预张力最大值为38.69 N。由于结构对称性，背索网预张力结果与前索网相同。

图2 设计状态下前索网预张力分布Fig.2 Pre-tension distribution of the front cable-net in the design state

3 型面调整算例

针对图1所示的双层索网模型，通过数值试验验证本文所提出型面调整方法的有效性。双层索网模型中索段长度误差为独立的随机数，假设其满足标准正态分布N(0,σ2)。进行4组数值试验，分别指定索段长度误差的标准差为0.05 mm(试验1)、0.10 mm(试验2)、0.15 mm(试验3)、0.20 mm(试验4)，依次将索段长度误差引入设计状态的双层索网模型，静力分析，得到初始的误差平衡状态，利用程序进行型面调整优化计算，分析调整过程中型面误差变化情况和双层索网模型预张力分布情况。此外，假设弹簧拉力的单位调整量Δt为0.10 N，为满足式(7)成立的小变形假设，调整因子α取为0.50。

图3 型面调整过程型面误差Fig.3 Surface error in the surface adjustment process

调整前、后双层索网模型的弹簧拉力值分布如图4所示。设计状态下张力阵弹簧拉力均为6.0 N。考虑型面调整前的初始状态，由于索段长度误差的存在，弹簧拉力会变得不均匀。对比4组试验可以发现，随着索段长度误差的增大，弹簧拉力的不均匀程度增加。在同一组试验内，调整后的弹簧拉力最小值变得更小、最大值变得更大，弹簧拉力不均匀程度有进一步增加趋势。

图4 型面调整前、后弹簧拉力分布Fig.4 Spring tensions before and after the surface adjustment

表1 型面调整前、后前索网预张力系数

一方面，从误差来源角度讲，需提高索网制造与装配工艺，降低由索网长度误差引起的型面误差。另一方面，可以改进基于最速下降法的型面调整方法，例如引入适当的约束条件，使调整后的双层索网模型预张力分布满足工程要求。

4 结束语

本文针对空间可展天线的双层索网结构，基于拓扑关系和平衡方程，利用偏导方法推导了任意平衡状态下型面误差对张力阵拉力的梯度公式。公式具有一般性，适用于不同形式的双层索网结构型面调整。结论与展望如下：

1)根据型面误差梯度向量的无穷范数，可以确定对型面误差影响最显著的张力阵单元；

2)基于最速下降法的双层索网结构型面调整方法是有效的，采用型面误差负梯度方向作为优化搜索路径，可实现快速降低型面误差的目的；

3)在后续研究中，考虑引入适当的约束条件，提高型面调整后双层索网结构的预张力均匀程度。