核心素养视域下对数学思想方法教与学的思考——兼谈课本一道习题的引申

于鸿丽　杨渭清

(西安文理学院信息工程学院　710065 )

1　数学思想方法的含义

自从上世纪80年代徐利治先生倡导“数学方法论”以来，在数学教学中渗透数学思想方法，逐渐成为中国数学教育的常识，并经由广大数学教师付诸于教育实践.而何为数学思想、数学方法、数学思想方法？很多学者从不同角度给出了不同的阐述.一般认为,数学方法是指在解决数学问题和数学地解决问题的过程中所采用的途径、程序和手段.数学思想是指数量关系和空间形式反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果,是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识.数学思想具有概括性和普遍性,而数学方法则具有操作性和具体性.在实践中，数学思想往往蕴含于运用数学方法分析、处理和解决数学问题和现实问题的过程之中，因此，区分数学思想与数学方法没有太大意义，常常统一称之为数学思想方法.

2　数学思想方法与数学核心素养的发展联系

“数学思想方法”在1992年正式纳入义务教育数学教学大纲，当年颁布的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》中明确提出：基础知识是指“初中数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法.”这一说法拓展了数学“双基”中“基础知识”的内容，并延续至2000年初、高中数学教学大纲,进而又写进2011年修订版义务教育数学课程标准.2001年7月颁发的《全日制义务教育数学课程标准实验稿》在课程“总体目标”中指出，要求通过义务教育阶段的数学学习,学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”,在这一表述中，将“基本的数学思想方法”作为学生数学学习的目标之一,成为了数学学习中的一基.而“核心素养”一词受到大家的热议是在2014年教育部发布的文件《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，其中明确提出核心素养、以及学科核心素养，并且要求“研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准”.关于核心素养的内涵,我国高中数学课标修订组首先阐述了数学教育的终极目标是：会用数学的眼光观察世界；会用数学的思维思考世界；会用数学的语言表达世界．在本质上，这“三会”就是高中阶段的数学核心素养，同时，又进一步明确核心素养包含以下六个要素：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.纵观上述发展过程，可以说，从“双基”到“四基”，再到“核心素养”，实际上是一种继承和发展.近年来，关于核心素养如何落实在课堂教学中成为一线教师关注的焦点.其实，核心素养中的前三个就是数学的基本思想，后三个是数学的基本能力.因此，笔者以为，数学思想方法的领会和掌握，必然与核心素养的形成有着紧密的联系.掌握了数学思想方法，并能自觉运用其解决数学问题，成为一种习惯，内化为个人知识结构的一部分，就成为了个人数学素养的一个有机组成部分.也就是说，数学思想方法的掌握及合理运用正是在操作层面上数学核心素养的体现.

因此，在教学中，不妨以数学思想方法为抓手，探寻思想方法教学的有效途径，以此为基础,逐步构建学生的数学核心素养,是课堂教学中落实核心素养的一个切实可行的做法.以下以课本中一道习题为例谈谈如何进行数学思想方法的教学.

3　课本一道习题的引申对数学思想方法教与学的启示

北师大版数学选修2-2“数学归纳法”一节中有这样一道习题：

3.1　教师数学素养的提升，是保证数学思想方法教学有效性的重要前提.

对于此题，我们可从如下两方面引申.一是将研究的问题从研究直线的交点拓展为直线将平面划分的区域数，得到问题1，再将研究的对象从直线拓展到圆，得到问题2.二是将研究前提从二维空间推广至三维空间，得到问题3、4.

问题2：平面内有n(n≥2)个圆，任两个都相交，任何三个都不过同一点，问这n个圆把它们所在的平面分成多少个区域？

问题3：空间中，n个平面最多能把空间分割成多少个部分？

问题4：空间中，n个球面最多能把空间分割成多少个部分？

从一个问题引申到四个问题，得益于教师深厚的数学素养，体现了数学中的特殊化与一般化的思想，以及类比思想(见上图).而问题的解决，还要考察数形结合思想以及空间想象能力，深层次上则反映了直观想象、逻辑推理等数学素养.

新的时代要求教师不再是“教教材”，而是“用教材教”.作为教师，一方面应当仔细地研究教学基本内容，研究其中所蕴含的基本思想，尤其是挖掘出教材背后更深层次可用于发展学生思维的资源，在知识的发生发展中自然而然的搭建出学生数学素养的基本架构.另一方面，工欲善其事必先利其器，在当前对核心素养愈发重视的情况下, 教师更应结合教学实际，不断的反思、审视自身的数学素养，进而学习，完善和发展个人数学核心素养，将其自觉地融入数学教学实践中，在学生数学素养的培养中发挥引领者、组织者及合作者的作用.

3.2　遵循认知规律，让学生经历渗透、感悟、显性化的数学思想形成过程.

数学思想方法由于其隐形化的特质而不同于一般意义上的数学知识，因此有其特定的教学方法.中学生正处于形象思维到逻辑思维的过度阶段，必须在一定量的实例积累上方可领悟其中蕴含的思想方法.因此，在教学中，应让学生经历渗透——感悟——显性化的学习过程.而渗透到何种程度，如何感悟，何时显性化，教师则应充分研究学生的年龄特点、认知特点合理实施.在上述各题目中，没有平日类比思想、空间想象能力的积累，学生不可能完成一系列问题的解决，这就是所谓的“渗透”.而在对课本原题透彻理解的基础上，引申到问题1、2中，尤其是运用数学归纳法从n=k到n=k+1的证明，就是让学生感悟的过程，感悟其中所蕴含的类比思想，感悟其中严密的逻辑推理；进一步，再将问题从平面推广至空间，可以说，此时学生对这一系列问题的感受已经“呼之欲出”，到了所谓“显性化”的阶段.当然，“渗透、感悟、显性化”的过程绝不仅仅体现在一节课中，更常见的是体现在长期的数学学习过程中.因此，在实际教学中，教师要抓住问题的本质，根据学生的年龄特点、认知规律，把深奥的数学思想转化为观察、实验、猜测、计算、推理、验证等数学活动，让学生体验数学思想；要引导学生积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，构建切实可行的方法将其融入于教学的细节之中.

3.3　积极引导学生反思感悟，注意数学思想方法教学的特殊性

数学思想方法由于其隐形化的特质,师生普遍反应难教难学.对于这种看不见摸不着的数学知识，反思感悟就显得特别重要.面对同一老师的讲解，不同的学生有不同的收获，有的学生可以自觉的将某一种方法运用到类似题目的解决中，并能根据具体问题的变化做出相应的调整；而有些学生则呈现出一定的困难，很难进行积极有效的联想，寻求问题解决的办法.笔者以为，解题后的反思起着重要的作用，不可否认的是，大部分学生的反思意识与能力不足.在上述问题中，教师若能引导学生从以下方面(见下图)进行反思、总结，学生收获的将会是从平面到空间的类比思想以及类比的基本方法，日积月累，会自觉的将这种类比思想应用在其它问题情境中.

以上，从课本一道习题出发，对数学思想方法的教与学进行了一定的思考，一方面试图通过自己的实践分析，引起教师对教材资源的重视，让课本习题成为发展学生思维能力的沃土；另一方面在当前核心素养日益重视的情形下，试图对核心素养在课堂教学落地生根给出具体的做法.史宁中教授曾经说过：理想的数学教学过程，应当注意几个环节：把握数学知识本质，把握学生认知过程；创设合适教学情境，提出合适数学问题；启发学生独立思考，鼓励学生相互交流；掌握知识技能，理解数学本质；感悟数学基本思想，发展数学核心素养.广大的一线教师应该以此为指导，在课堂教学中不断实践、研究、创新.