浅谈运用均值不等式求最值的若干策略

摘要：在平时教学中，笔者发现学生对运用均值不等式求最值碰到困难，有些无法下手，本文罗列出几种常见题型的变形方法与技巧，来说明如何灵活运用均值不等式，借此以激发学生思维，开阔学生解题视野，提高学生应用数学知识的能力。

关键词：均值不等式;最值;策略

均值不等式，也叫基本不等式，它的内容在人教版高中数学教材必修5第三章《不等式》3.4节中出现，它是证明不等式及各类最值重要的方法和依据，应用广泛，相关题型经常出现各类模拟试题及高考当中，具有变通灵活性和条件约束性的特点，是高中数学重要的一个知识考点。

具体内容描述如下：①若非负实数a，b，则a+b2≥ab;②若非负实数a、b、c，则a+b+c3≥3abc，那么，在运用它们求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”这三个基本条件，但在具体的问题中，这些条件往往不全满足，这时，就必须对式子作一定的恒等变形和配凑技巧，使它同时满足这三个条件，现将恒等变形的常见方法与技巧归纳如下，以期能对大家的学习有所启发和帮助。

一、 拆项法

【例1】若x>0，求函数y=x2+2x+14x的最小值。

解：∵x>0且x2+2x+14x=x2+16x=x2+8x+8x

∴y=x2+8x+8x≥33x2·8x·8x=12

故当且仅当x2=8x，即x=2时，ymin=12。

二、 添项减项法

【例2】已知a≥b>0，求y=a+4（2a-b）b的最小值。

解：∵a≥b>b2>0，∴a-b2>0，b2>0

∴y=a+4（2a-b）b=a-b2+b2+1a-b2·b2

≥33a-b2·b2·1a-b2b2=3

∴当且仅当a-b2=b2，b2=1a-b2·b2，即a=b=2时，ymin=3。

三、 变换系数法

【例3】若a∈R+，且2a2+b2=2，求y=a·1+b2的最大值。

解：∵y=a1+b2=12·2a2·（1+b2）≤122a2+b2+12=324（当且仅当2a2+b2=2，2a2=1+b2，即a=32，b=±22时，取“=”）

∴y=a·1+b2的最大值为324。

四、 平方法

【例4】已知0<θ<π，求y=sinθcos2θ的最大值。

解：∵y2=sin2θcos4θ=12（2sin2θ·cos2θcos2θ）≤122sin2θ+cos2θ+cos2θ33=427（当且仅当2sin2θ=cos2θ，即θ=arctan22或θ=π-arctan22时，取“=”）

∴0

五、 取绝对值法

【例5】已知x∈R，求y=2xx2+1的最值。

解：∵|y|=2xx2+1=2|x|x2+1=2|x|+1x≤22|x|·1x=1（当且仅当|x|=1x，即x=±1时，取“=”），

∴-1≤y≤1。

∴函数y=2xx2+1的最小值和最大值分别为-1和1。

六、 常值代换法

【例6】已知a、b>0，且2a+b=1，求函数y=1a+1b的最小值。

解：∵2a+b=1

∴y=1a+1b=（2a+b）1a+1b=3+ba+2ab≥3+22（当且仅当ba=2ab，2a+b=1，即a=2-22，b=2-1时，取“=”）

∴函数y=1a+1b的最小值为3+22。

七、 三角换元法

【例7】已知，a、b∈R，且2a+b=4，求1a+1b的最小值。

解：由2a+b=4，可设2a=4sin2θ，b=4cos2θ，则有

1a+1b=12sin2θ+14cos2θ=12（1+cot2θ）+14（1+tan2θ）≥34+214tan2θ·12cot2θ=34+22（当且仅当tan2θ=2cot2θ，即tan2θ=2，b=42-4時，取“=”）

∴1a+1b的最小值为34+22。

八、 同步放缩法

【例8】已知a≥b>0，求y=a+4（2a-b）b的最小值。

解：∵y=a+4（2a-b）b≥a+42a-b+b22=a+4a2=a2+a2+4a2≥33a2·a2·4a2=3（当且仅当a2=4a2，2a-b=b，即a=b=2时，取“=”）

∴y=a+4（2a-b）b的最小值为3。

九、 待定系数法

【例9】已知x>0，求y=x（2x+1）（8-5x）的最大值。

解：若x≥85，则y≤0;若0<x<85，

设y=1mn[mx（2x+1）（8n-5nx）]（其中m、n为待定系数），要使mx+2x+1+8n-5nx为常数，即（m+2-5n）x+8n+1为定值（即与x无关）。

必须有m+2-5n=0①

由mx=2x+1=8n-5nx，得m=2x+1x，n=2x+18-5x，将其代入①中化简整理，得15x2-11x-4=0

解得x=-4150，85，x=1∈0，85，

当x=1时，m=3，n=1，于是

y=13[3x（2x+1）（8-5x）]≤133x+（2x+1）+（8-5x）33=9

∴当x=1时，ymax=9

当然，在课堂教学中，对于每一道题，教师都要引导学生认真地观察所求式子的特点，然后结合条件选择适当的变形方法，并且要注意必须满足“一正、二定、三相等”这三个基本条件，一题多法，多法合用。这样，才能达到熟练掌握变形方法的目的，才能激活学生的思维，提高学生的解题能力。

参考文献：

[1]黄军华.运用基本不等式解题常见问题探讨.2012

[2]宋仁高.运用基本不等式解题常见错误分析[J].理科考试研究-数学版，2011.

作者简介：

杨庆元，浙江省金华市，浙江金华孝顺中学。