“仿真物理实验”在物理问题研究中的应用——以“寻找带电小球在复合场中的运动轨迹”为例

陈玺君

(丹阳市吕叔湘中学　江苏 丹阳　212300；广西师范大学教师教育学院　广西 桂林　541004)

1　问题场景

【问题】如图1所示，范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面平面向里，同时在纸面平面内有一匀强电场，大小为E，方向水平向右.质量为m，电荷量为q的带正电小球从图中某一位置P出发，与水平方向成45°斜向右上方射入场区，小球所受电场力与其重力大小相等，试分析小球所有可能的运动轨迹.

图1　题图

2　初步理论研究分析

首先从理论上简单分析：为了便于研究该问题，可以以带电小球出发点P为坐标原点，v0方向为x轴，建立如图2所示平面直角坐标系.

图2　建立有角坐标系

鉴于v0与v的大小关系不明确，这时显然有必要分两种情况讨论.

2.1　当0≤v0

如图3所示，带电小球的受力分析图.

图3　受力分析

如图4所示，易知，小球一边从初始位置开始以速度大小为v-v0逆时针方向做匀速圆周运动，一边以速度v沿x轴正方向的匀速直线运动，匀速圆周运动轨迹在坐标系xOy的x轴的下方

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

图4　运动分解

经过时间t,小球位置在沿x轴正方向做匀速直线运动的新坐标系x′O′y′中的坐标为

x′=-Rsinωt

(6)

y′=Rcosωt

(7)

因此换算到xOy坐标系中的坐标为

x=vt+x′=vt-Rsinωt

(8)

y=-(R-y′)=y′-R=Rcosωt-R

(9)

整理可得

(10)

(11)

2.2　当v0>v时

如图5所示，带电小球的受力分析图.

图5　受力分析

如图6所示，此时可认为小球一边从初始位置开始以速度大小为v0-v逆时针方向做匀速圆周运动，一边以速度v沿x轴正方向的匀速直线运动，匀速圆周运动轨迹在坐标系xOy的x轴的上方，半径

(12)

在坐标系x′O′y′中小球的坐标为

x′=Rsinωt

(13)

y′=-Rcosωt

(14)

图6　运动分解

因此小球在坐标系xOy中的坐标为

x=vt+x′=vt-Rsinωt

(15)

y=y′+R=-Rcosωt+R

(16)

整理可得

(17)

(18)

由以上分析可知，两种情况下小球的轨迹的参数方程的形式完全相同．

从上面的轨迹参数方程可以看出，轨迹形状显然与v0的取值是有关联的．如图7所示，在“仿真物理实验室”软件中设置好如下参数： 小球质量m=0.5 kg,小球电荷量Q=1 C，匀强电场电场强度E=5 N/C，匀强磁场磁感应强度B=1 T，重力场：g=10 m/s2，小球初始坐标(10 m,10 m)．

图7　设置参数

3　“仿真物理实验”尝试

在0≤v0

3.1　尝试1

取特殊值v0=0，运行实验，结果轨迹如图8所示.

图8　取v0=0时运行结果

这显然是圆滚线(又称旋轮线、摆线)．

理论研究释疑：

如图9所示，小球在轨迹的最低点具有沿x轴正方向最大速度2v，最低点轨迹切线沿x轴正方向；小球在轨迹的最高点速度为零，轨迹切线的斜率k不存在或不唯一，最高点为极大值点，最高点不光滑应为尖点．

图9　v0=0运动分析

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

由轨迹方程的二阶导数知

(25)

当v0=0时代入

(26)

因此除轨迹的最高点vx=0外， 其余点由于vx>0，则在该运动区间

(27)

由高等数学可知，图像无拐点，且曲线轨迹向上凹，与仿真物理实验结果很吻合．

3.2　尝试2

图10　取v0=3 m/s时运行结果

这种轨迹显然与尝试1不同．

理论研究释疑：

如图11所示，小球在轨迹的最低点速度为2v-v0，方向沿x轴正方向，最低点轨迹切线水平；小球在轨迹的最高点速度为v0，方向也沿x轴正方向，最高点轨迹切线自然也水平．故这种情况轨迹可能存在拐点．

图11　0

(28)

(29)

因为vx>0

(30)

(31)

可得

(32)

(33)

(34)

(35)

容易得到，在拐点的左侧

(36)

曲线轨迹向下凹；

在拐点的右侧

(37)

曲线轨迹向上凹；与仿真物理实验得到的轨迹吻合．

接下来在v>v0范围内，分多种情况尝试.

3.3　尝试3

图12　取v0=11 m/s时运行结果

明显该曲线轨迹与上面尝试1、尝试2情况均不相同，是一种新的运动轨迹．

理论研究释疑：

如图13所示，小球在轨迹的最低点速度为v0，方向沿x轴正方向，最低点轨迹切线水平；小球在轨迹的最高点速度为2v-v0，方向也沿x轴正方向，最高点轨迹切线自然也水平．故这种情况轨迹仍然可能存在拐点．

图13　v

(38)

(39)

因为vx>0

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

容易得到，在拐点的左侧

(46)

曲线轨迹向上凹；

在拐点的右侧

(47)

曲线轨迹向下凹；与仿真物理实验轨迹吻合．

3.4　尝试4

图14　取时运行结果

明显这个曲线在尝试1，尝试2，尝试3这3种情况中也未曾出现，也是一种新的运动轨迹．

理论研究释疑：

如图15所示，小球在轨迹的最低点具有沿x轴正方向最大速度v0=2v，最低点轨迹切线沿x轴正方向；小球在轨迹的最高点速度也出现为零，轨迹切线的斜率k不存在或不唯一，最高点为极大值点，最高点不光滑出现尖点．这时因为vx>0，当

v0=2v

(48)

时，代入得

(49)

图15　v0=2v运动分析

因此除轨迹的最高点vx=0外，其余点由于vx>0，则在该运动区间有

(50)

由高等数学可知，图像无拐点，且曲线轨迹向上凹，与实验结果吻合．

3.5　尝试5

当v0>2v时，取v0=20 m/s代入“仿真物理实验室”运行，结果轨迹如图16所示.

图16　取v0=20 m/s时运行结果

明显这个曲线在尝试1，尝试2，尝试3，尝试4种情况中均未出现，也是一种新的运动轨迹．

理论研究释疑：

如图17所示，可知，小球在轨迹的最低点速度为v0，方向沿x轴正方向，最低点轨迹切线水平；小球在轨迹的最高点速度为v0-2v，方向沿x轴负方向，最高点轨迹切线自然也水平．这种情况小球有段时间向x轴正方向运动，有段时间向x轴负方向运动，在轨迹的最高点下方存在x轴分速度为零而y轴分速度不为零的特殊点，在这些点轨迹的切线沿y轴正或者负方向．

图17　v0>2v时运动分析

(51)

容易得到，若vx>0时

(52)

曲线轨迹向上凹；

在拐点的右侧，

(53)

曲线轨迹向下凹,与仿真物理实验轨迹吻合．

最后可以随便赋予小球任意速度，理论和仿真实验均表明无更多可能轨迹．下面将5种实验尝试情况下的5个相同小球赋值以上讨论的5个不同速度，一起运行试验得到所有可能的轨迹如图18所示.

图18　5种实验尝试情况下运行结果

4　结束语

在有些复杂的物理问题研究中，人脑的想象空间是非常有限的，借助“仿真物理实验”，先对未知领域进行尝试，获得感性的认知，然后借助理论研究寻找形成原因，这种方法可以帮助解决一些疑难问题，对于物理问题的研究未尝不是一个行之有效的策略.