基于装备完好率的两级可修复备件库存优化模型*

董骁雄，陈云翔，项华春，蔡忠义

（空军工程大学装备管理与安全工程学院，西安 710051）

0 引言

在多维修级别备件管理中，主要目的是优化备件在不同维修级别的配置。目前备件优化建模技术主要可以分为两类：一类是广泛用于工业界的用以减少生产停机时间的库存模型；另一类是复杂军用装备的保障部门正在利用越来越复杂的库存模型，以便在规定约束下满足规定的装备战备完好性指标。前一类目前已与供应链管理相融合，成为供应链管理的一个组成部分。后一类已从传统的单项（件）法发展成为按战备完好性配置备件的系统法。例如，RBS（基于战备完好的备件配置）模型，按可用性选择库存的多层级模型（SESAME），METRIC系列模型，OPUS10模型［1］。目前，国内外大多数关于可修复备件库存建模理论研究都是基于METRIC系列模型所展开的，例如，文献［2］将METRIC系列模型应用到航空装备航材备件库存管理中，针对系统中LRU、SRU之间由于存在隶属关系构建了多隶属关系下的可修复航材储备模型，文献［3］根据METRIC 理论，结合“原位维修率”、“占空比”、“重测完好率”等重要维修参数，建立了具有多等级的维修供应体系、多层次结构备件的初始库存分配模型。

经分析可知，在绝大多数的多级库存优化模型当中，保障质量评价指标大多是EBO（备件短缺数）或者WT（等待备件时间）［4-8］，虽然上述指标是一种简捷的评价指标，但是作战指挥人员便于掌握的是飞行性能的衡量指标，装备完好率是装备能随时遂行任务的完好数与装备实有数的比值［9］。主要用以衡量装备的技术状况和管理水平，以及装备对作战、训练、执勤的可能保障程度，是部队制定装备使用计划的重要依据［10］，而现有的装备完好率计算模型不能应用到两级库存系统，也不能建立不同隶属关系的备件数量之间的权衡，很难使预测结果具备较高的费效比。因此，非常有必要建立以装备完好率为目标函数的两级库存优化模型。

1 供应保障过程描述及模型参数定义

1.1 供应保障过程描述

根据装备的修理约定层次可将备件划分为外场可更换件（LRU）和内场可更换件（SRU），SRU 是LRU的分组件，两者之间存在隶属关系，所以SRU在库存系统中的运行与LRU的运行密不可分。因此，下面构建了两级库存系统下LRU+SRU的运行模式。其中，“+”表示隶属关系，“a+b”表示b隶属于a。LRU+SRU在两级库存系统中的供应保障过程如图1所示。

图1所示的LRU+SRU在两级库存系统中的供应保障过程可描述为：某装备零部件（LRU）在使用过程中如发生故障，则立即把LRU拆下并向基层级航材库申请一个LRU，若基层级仓库现有库存能够满足需求，则立刻送往外场进行换件维修，否则等待基地级仓库送到。同时判断故障件是否能够在基层级被拆卸，若能，则立即对LRU进行维修拆卸更换SRU，修好后的LRU作为备件储备在基层级仓库，送故障的SRU到基地级修理（生产）厂维修，并向基地仓储中心申请一个SRU补充。如果基地仓储中心有该备件，则立即送基层级，如果没有，则判断该故障件是否能在基地修理（生产）厂被修复。若能，则立即进行维修，修好后送入基地仓储中心，若不能，则进行报废，重新进行采购。

1.2 模型假设

图1 LRU+SRU在两级库存系统中的供应保障过程

单位时间内，备件需求率服从Poisson分布，不同故障单元的在修数量相互独立；各维修层级的库存控制采用连续检测的（S-1，S）库存策略；按照严格逐级向上的机制完成故障件的送修、申请和补给，不考虑处于同一级别维修层级之间的横向供应；故障件维修及备件补给过程中，不考虑维修层级之间的补给优先权和故障单元之间的维修优先权，采取先到先供应、先到先维修的维修供应策略；故障件的维修供应时间相互独立，维修后，备件修复如新；不同故障单元发生短缺所造成对装备可用度的影响程度相同，即所有装备组件的重要度相同；各维修级别的维修资源无限，故障件不会因为维修资源短缺而造成排队等待的现象。

2 两级可修复备件库存模型

2.1 备件需求率确定

根据1.1分析的LRU+SRU在两级库存系统中的供应保障过程，基层j的SRUi年平均需求量，等于基层j的LRU年平均需求量乘以LRU在本基层修理的概率，再乘LRU修理产生SRUi需求的概率：

其中，i表示内场更换件SRU的项目编号1，2，…，I（0 表示 LRU），j表示基层编号 1，2，…，J（0 表示基地仓库），mij表示基层j内场更换件SRUi的年平均需求率，rij表示基层j SRUi的故障件能在基层修理的概率，qij表示基层j修理的LRU将产生故障隔离的SRUi的条件概率，其中

基地仓库LRU年平均需求量，等于各基层发生的对基地仓库补给申请的LRU需求之和：

基地仓库SRUi的年平均需求量，等于所有J个基层补给需求之和（基层j的SRUi年平均需求量乘以SRUi不在本基层修理的概率），再加上基地级修理LRU所需的SRU件数。因此，

通过上述分析，准确得到基层j的LRU年平均需求率m0j是确定各层级备件需求率的关键，目前，国内外文献在建立备件预测模型时，通常将其视为已知参数，列装部队一段时间的装备，在维修保障的过程中，维修人员和保障机构往往对备件的消耗规律有一个较为清晰的认识，已积累了一定数量的实际使用数据，可通过历史数据确定。对于新型号装备在列装服役初期，在缺乏备件故障消耗数据时，需要通过装备可靠性设计指标、装备系统结构、使用现场的装备配置量，以及维修条件来对LRU的年平均需求率进行预测，其计算公式为：

其中，Qi为基层装备使用数量；Ui为部件i的利用率因子；Ri为部件i的拆卸率因子；Ni为单个部件i的机用件数；λi为部件i的故障率。

2.2 基地级在修LRU件数的均值和方差

基地级修理LRU产生的基地SRUi需求的比例是

基地级修理的LRU件数由两组构成：1）不存在SRU延误时，基地送修渠道LRU的件数；2）因基地仓库现有库存没有所需SRU而延误的基地送修LRU。一次具体SRU短缺正在延误LRU基地送修的概率为fi0，而该短缺正在延误对某基地补给的概率为1-fi0。因此，基地送修LRU的均值和方差为：

2.3 基层级在修或补给的SRU件数的均值和方差

正在补给到基层j的基地仓库所需全部SRUi的比例是：

在修或补给到基层j的SRUi件数，等于供应渠道件数加上基地仓库不能提供SRU现货而延误的件数。

其中，Oi表示基地仓库有库存时，SRUi从基地仓库到任一基层申请至交付的时间为常数；Xij表示基层j随时在修或补给的内场更换件SRUi的件数。

2.4 基层级在修或补给的LRU件数的均值和方差

正在补给到基层j的基地仓库所需全部SRUi的比例是：

基层j在修或补给的LRU件数可分成3组：1）供应渠道无短缺时LRU的件数；2）因基地仓库LRU短缺而造成补给延误的LRU件数；3）因基层短缺SRU而延误修理的LRU件数。

其中，Oi表示基地仓库有库存时，SRUi从基地仓库到任一基层申请至交付的时间为常数；Xij表示基层j随时在修或补给的内场更换件SRUi的件数。

期望短缺数EBO及短缺数方差VBO计算式分别为

式中：xi为第i类备件的需求量；si为第i类备件的现有库存量；P（xi）为第i类备件供应渠道数量的稳态概率分布。

2.5 备件供应渠道数量概率分布的确定

根据备件供应渠道数量的方差Var（xi）和均值E（xi）比值可以确定P（xi）的概率分布。

表1 备件供应渠道数量概率分布

3 装备完好率模型

装备完好率是指在一定时限内，可遂行飞行任务的装备数占实有装备数的比率。反映装备完好情况的指标，衡量装备保障管理和技术水平对作战、训练保障程度的标尺，制定装备使用计划的依据之一［10］。装备完好率（POR）的统计公式为：

式中，k为完好装备数；n为总装备数。

装备使用可用度是指装备可在随机时刻按需执行其规定功能的概率。假设给定装备完好率POR，则可以建立POR与装备使用可用度A之间的关系模型。因为每架飞机的使用可用度（在任意时刻的可用概率）为A，在机群n架飞机中，至少有k架飞机可用的概率服从二项分布：

对于某一特定要求的置信水平CL，要确保预期的POR目标，则必须满足以下条件：

综上所述，在已知总飞机数n、完好率POR和置信水平CL的情况下，通过式（13）～式（15）即可求出有效的最低飞机使用可用度。

基层j的装备可用度为：

式中，Nj为基层j的飞机数量；I为飞机中备件项目数；EBOij（sij）为基层j第i类备件在库存量为sij时的期望短缺数；Zi为第i类备件的单机安装数。

对整个两级保障系统而言，其保障的所有基层装备可用度为：

基于装备完好率的两级库存优化模型表述为在满足两级保障体系装备完好率要求的前提下，使整个保障体系的备件费用最低：

式中，POR0为期望达到的两级保障体系装备完好率。

4 模型算法

模型采用边际效能分析法进行备件优化，将可能要追加的库存备件按序排列，排序的标准是备件的效-费比（即追加一件备件库存形成的装备完好率增量除以该备件的单价），效费比最高的备件排在“备件购置清单”最前面，这样就生成了最优的备件组配方案。随着备件购置清单的生成，同时也累加了备件购置费用及其产生的装备完好率，这样就将总费用与计划安排的完好率联系起来，得出备件保障费用与完好率的关系曲线。

运用边际效能分析法对该模型进行求解的步骤流程图如图2所示。

5 算例分析

假设在一个两级维修供应保障系统中，由1个基地，3个基层组成。数据表2中包括LRU组件和对应的SRU清单及其相关参数。

假设各基层有20架同型飞机，每架飞机的任务时间相同。求在置信水平0.9，机群完好率不低于0.8时的最优备件库存方案。

飞机架数n=20，机群完好率POR0=0.8，置信水平CL=0.9，根据装备完好率模型，由式（13）～ 式（15），此时单机使用可用度：A≥0.873 1。采用边际优化算法进行计算，得到备件的最优初始库存方案，如表3所示。

图2 模型求解流程

边际优化算法在迭代过程中得到的备件保障费用与完好率的关系曲线如下页图3所示，负责编制备件保障计划的人员可以使用上述效-费比曲线规划经费预算并安排资源配置，备件库存主管按照规定的装备完好率指标，或者是规定的库存备件预算经费标准，就可以计算确定备件的需求量。

表2 装备备件清单及相关参数

表3 备件的最优库存分配结果

图3 备件最优费效变化曲线

6 结论

本文在以METRIC模型为代表的经典解析法的基础上，以两级库存系统下LRU+SRU的备件保障模式为研究对象，构建备件两级闭环供应链系统结构与备件运转流程，提出装备完好率模型，依据单位价格备件对装备完好率的贡献度得出两级备件最优组配方案。模型推广后也可解决三级保障模式下的备件储备问题。