简单桁架结构刚度分析方法

(广州大学　广东　广州　510006)

引言

随着有限元法不断完善，它的应用领域越来越宽，已成为设计领域中的重要的分析工具。有限单元法，也称结构力学的矩阵分析方法，其主要内容包括以下两部分：

首先是进行单元分析。把一个连续的结构分解成有限个单元的集合体，这些单元仅在有限个结点上相连接，这个过程称之为结构的离散化。

其次是进行结构的总体分析。在单元分析的基础上，再把各单元集合起来进行考虑，由各单元刚度矩阵集合形成结构的总体刚度矩阵。

本文仅涉及到桁架结构，作了以下两个假设：桁架的杆件应力应变关系符合虎克定律；杆件各节点为无摩擦的铰结点。

一、杆单元刚度矩阵

(一)局部坐标系下的单元刚度矩阵[1]

图1　单元e受力图

杆端轴向力与杆端位移间的关系为：

(二)整个坐标系下的单元刚度矩阵

1.杆端力和位移的坐标变换

[T]为正交矩阵

2.整体坐标系下的单元刚度矩阵

杆单元的杆端力和杆端位移在整体坐标系下的关系：

{F}(e)=[k](e){Δ}(e)

单元杆端力与杆端位移在局部坐标系下的刚度方程为：

等式两边同乘[T]T，得：

比较两式，便得到：

3.结构总体刚度矩阵

空间桁架结构杆件较多，本文采用单元集成法求总体刚度矩阵[1]，

单元集成法分为两步：

(1)由单元刚度矩阵[k](e)求单元贡献矩阵[K](e)

首先给桁架结点位移(或结点力)进行两种编码：I.总码，即在整个分析中，结点位移在结构中统一进行的编码。II.局部码，即在单元分析中，给个单元的两个结点各自的独立编码。

(2)由单元贡献矩阵[K](e)求总体刚度矩阵[K]

总体刚度矩阵[K]的求解就是单元的集成过程，将n个单元贡献矩阵[K](e)中的元素进行累加。

经过上述的桁架结构的结构分析之后，接下来就是用MATLAB语言进行编写遗传算法，Matlab程序要实现的5个重要模块分别为：单元刚度矩阵的求解、单元组装、节点位移的求解、单元应力的求解、节点力的求解[4]。

二、经典算例

如图2所示的结构，各个杆的弹性模量和横截面积都为已知。试基于MATLAB平台求解该结构的节点位移、单元应力以及支反力。这是一个16杆空间桁架，已知杆件截面尺寸相同，材料相同。弹性模量E=2.1×108KN/M2，截面面积A=3cm2。

图2　十六杆平面桁架

解答：对该问题进行有限元分析的过程如下

(1)结构的离散化与编号

对该结构进行自然离散，节点编号和单元编号如上图所示

(2)控制数据:单元数 节点数 单元类型数 荷载数：16,9,1,3

(3)结点坐标及约束信息(结点号，X坐标，Y坐标，Z坐标，X方向约束，Y方向约束，Z方向约束):

1,0,6,8,0,0,0;4,0,0,8,0,0,0;7,4,6,0,1,1,1;2,4,6,8,0,0,0;5,2,3,11,0,0,0;8,4,0,0,1,1,1;3,4,0,8,0,0,0;6,0,6,0,1,1,1;9,0,0,0,1,1,1

(4)单元信息(单元号，单元起始点，单元末端点，单元类型号)

1,1,2,1;5,1,5,1;9,1,6,1;13,4,6,1;2,2,3,1;6,2,5,1;10,2,7,1;14,1,7,1;3,3,4,1;7,3,5,1;11,3,8,1;15,2,8,1;4,4,1,1;8,4,5,1;12,4,9,1;16,3,9,1;

(5)单元类型参数(类型号，弹性模量，截面积)：1,2.1e+8,0.03，

(6)结点荷载(结点号，荷载作用方向，荷载大小)：3,2,20，4,2,20，5,2,20，

(7)计算结果的整理

通过主程序的运行得计算结果,整理如下

结点位移：(单位：×104m)

X方向位移：1-5号节点-0.1488E-06，-0.1311E-06，-0.1009E-06，-0.7894E-06，0.1567E-06；7,8,9节点均为0.

Y方向位移：1-5号节点分别为0.2098E-05，0.1997E-05，0.2297E-05，0.2110E-05，0.2534E-05；7,8,9节点均为0；

Z方向位移：1-5号节点分别为-0.6898E-07，-0.5700E-06，0.5713E-07，0.5763E-06，0.4728E-07；7,8,9节点均为0.

结点轴力和应力单位：轴力KN;应力×10MPa。

轴力1-16单元杆分别为：3.2398，-24.8701，-3.8998，5.1289，-8.0333，-7.5968，7.6019，8.0298，-5.5038，-44.4898，4.4961，45.5038，-50.4579，0.3998，49.5388，0.3989

应力1-16单元杆分别为：1.0798，-8.2789，-1.1389，1.7098，-2.6788，-2.5337，2.5401，2.6803，-1.7930，-14.8331，1.4991，15.1702，-16.8099，0.1402，16.5141，0.1371

三、结论

通过经典十六杆平面桁架案例模型中计算，发现结构杆件上的位移能够准确地求解出来，而且精度高，各杆件的轴力和应力大小也在合理的代数计算值范围内，与已有经典算例中的代数解相符，可以得出本次有限元程序是准确的。在现实中，大部分三维桁架结构更加复杂，可以在本文的基础上将结构刚度分析在可以继续扩展应用于复杂结构设计中，程序编写上扩大节点应力搜索范围，这对于实际工程中有更好的实用性。