黄金分割矩形构图方法在集成桅杆设计中的应用

赵福燕，杨春鹏，陈　杨

(中国船舶重工集团公司第七二四研究所，南京 211153)

0　引　言

黄金分割最早见于古希腊和古埃及。黄金分割又称黄金率，即把一根线段分为长短不等的a、b两段，使其中长线段a与整根线段(即a+b)的比等于短线段b对长线段a的比，列式即为a∶(a+b)=b∶a，其比值为0.6180339……。这种比例在造型上比较悦目。因此，0.618又被称为黄金分割率[1]。

黄金分割法则[2]是一个古老的美学标准，因其给人和谐变化的审美感受而备受推崇，2000余年一直为人们所遵循。位于雅典的帕提农神庙是一个典型实例。帕提农神庙的正面符合多重黄金分割矩形，二次黄金分割矩形构成楣梁，中楣和山形墙的高度。最大黄金分割矩形中的正方形确定了山形墙的高，图中最小的黄金分割矩形决定了中楣和楣梁的位置(见图1)。[3]

2　黄金分割矩形构图方法介绍

斐波纳契数列又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)，n≥2。这个数列的比例形式非常接近黄金分割的比例体系。在这组数字序列中前面的数字开始接近黄金分割。该数列中第15个数字后的任一数字除以它后面的那个数字近似于0.618，而这些数字除以它前面的那个数字则近似于1.618。[4]

2.1　黄金分割矩形的构成方法

黄金分割矩形构成方法如下：(1) 先作一个正方形，从一条边的中点A向一个对角B画一条斜线。以这条斜线为半径做一段圆弧，与正方形的延长线相较于C点。这个小矩形和这个正方形共同构成了一个黄金矩形。这个黄金矩形能够被进一步分割。当进一步分割后，该矩形产生一个较小比例的黄金分割矩形，它是内含黄金分割矩形(或二次黄金分割矩形)。这个分割过程可以无限继续下去，产生许多更小的等比的矩形和正方形(见图2)。

2.2　辅助螺旋线的构成方法

黄金矩形独特之处在于当它被分割后得到的图形是一个较小的等比的矩形，分割后剩下的面积是一个正方形。因为分割得到一个二次黄金矩形和一个正方形的特殊性质，黄金矩形被称为“螺旋产生正方形的矩形”。这些等比例减小的正方形能够产生一条螺旋线，用正方形的边长作为半径可以构成一条螺旋线。

运用黄金矩形分割的示意图可以构造一条黄金分割的螺旋线，即用被分割而产生的那些正方形的边长作为圆的半径，对每一个正方形画出圆弧，并连接这些圆弧(见图3)。

3　某集成桅杆案例

图4是某集成桅杆外观方案图。从造型构成来看，层次感强，各平面与斜面搭配显得非常立体，线条方面除了水平线和垂直线外更加入灵动的斜角线，变化更多，不呆板，面和面、线和线之间的相交产生新的细节点缀，构成元素丰满、充实，比例关系合理、协调，造型美观、大气。

集成桅杆是由底部为8 m的正方形、高度为13 m、角度为10°的斜梯形构成，其底部尺寸8 m与高度尺寸13 m在斐波纳契数列中正好为相邻的2个数字，整体符合黄金分割矩形构成。将桅杆的高度看成一条线段，将线段分为长短不等的a、b两段，其中长线段b=13×0.618=8.034(m),短线段a=13-8.034=4.966(m)，a/b=0.618。将集成桅杆主体结构按照功能的不同划分为3部分，第1部分为4.966 m，第3部分也为4.966 m。第1部分、第3部分分别与桅杆高度剩余部分的比值都为黄金比值0.618。第1部分作为设备1的旋转仓，第2部分为设备2和设备3面阵仰角区域以及边缘斜角部分作为设备5的安装区域，第3部分是设备4(分为上下两部分)的安装区域 (见图5、6)。桅杆的整体角度为内倾10°，是基于第3部分设备4的仰角要求，10°斜角基本重合与黄金分割三角形(顶角为36°，两个底角均为72°的等腰三角形称为黄金三角形)和矩形竖边的角平分线，两者之间仅相差1°。第2部分设备2和设备3的仰角要求为15°～20°，其安装斜面与斜角边缘线分割线全部重合在黄金三角形的两条边上(见图7中虚线)。在做延长之后，两条斜面分割线相交于第1部分的上斜切面下边线的中点上(见图7中虚线)。

3.1　动态矩形分析

桅杆中第1部分二阶黄金分割矩形对角线(见图8(a)中虚线)和黄金分割矩形对角线(见图8(a)中实线)的交点基本相交于集成桅杆第1部分的竖向斜角线(见图8(a)中圆圈标示)。黄金分割矩形对角线(见图8(a)中实线)和二阶黄金分割矩形边线的交点连线(见图8(a)中椭圆标出点划线)经过设备2和侦查设备3的外侧边线中点(见图8(a))。

桅杆在竖向等分为3部分。其中，第1部分宽边端点与第3部分矩形对角线(见图9(b)中第3部分虚线)交点构成的斜边(见图8(b)中倒向实线)分别经过集成桅杆第1部分的下部尖角、第2部分斜角的尖端以及设备3的端点和设备4上半部分的端点(见图8(b)中实线)；第3部分宽边端点与第1部分矩形对角线交点构成的斜边(见图8(b)中第一部分点划线)基本相交于第2、3部分分割的斜边上。

3.2　螺旋线分析

黄金矩形第1条螺旋线分别经过第1部分斜角相交面的尖端和第一部分竖向斜面的中点，第2条螺旋线经过第3部分竖向斜面中点(见图9(a)实线)。图9(b)中的虚线与图9(a)中的实线左右对称，而点划线和双点划线与实线和虚线上下对称。

4　结束语

作为系统性多专业最新技术成果体现的典型代表，雷达及相关装备的天线对于造型设计的重视程度也是逐步上升的。造型合理、外形美观对于彰显产品高精尖特点的作用也是显而易见的。在工程方案设计当中，对于几何学构成原理中成熟规律的合理运用，可以有效提升产品造型的美学水准。