随机Dirichlet-Hadamard乘积所表示的整函数的增长性

李云霞, 孔荫莹

(1. 楚雄师范学院 数学与统计学院, 云南 楚雄 675000; 2. 广东财经大学 统计与数学学院, 广东 广州 510320)

1 引言及预备知识

文献[1-10]介绍了一些关于整函数的系数、级和型的有趣结果.文献[6]构造一个Dirichlet-Hadamard乘积,得到了它的q-级、下q-级、q-型和下q-型等一些结果.本文在文献[1,6-7]的基础上,讨论更一般的随机Dirichlet-Hadamard的乘积,获得了随机Dirichlet-Hadamard的乘积与Dirichlet-Hadamard的乘积表示的整函数几乎必然(a.s.)有相同的收敛横坐标、(下)q-级、(下)q-型、ρ[q]正规增长、完全ρ[q]正规增长等.最近有关Dirichlet级数及其推广形式Laplace-Stieltjes变换的增长性的研究有一些新的进展,可参考文献[11-18].

考虑辅助级数Dirichlet级数

(1)

其中,{an}⊂C,0<λn↑∞,s=σ+it(σ、t为实变量).另外,设级数(1)满足

(2)

由条件(2)和Valiron公式[1],Dirichlet级数(1)的一致收敛横坐标为-∞,则f(s)定义了一个全平面收敛的整函数.置

表示f(s)的最大模.另记:exp[0]x=ln[0]x=x;当k>1,exp[k]x=exp(exp[k-1]x);ln[k]x=ln(ln[k-1]x).

定义1.1Dirichlet级数q-级ρ和下q-级χ的定义如下:

(3)

定义1.2如果ρ∈(0,∞),Dirichlet级数(1)的q-型T与下q-型τ定义如下:

(4)

其中q=2,3,4,….

定义1.3如果ρ=χ,在全平面收敛的Dirichlet级数(1)称为ρ[q]-正规增长;此外,如果τ=T,则(1)式称为完全ρ[q]-正规增长.

(5)

其中,{an,j}⊂C,0<λn,j↑∞(j=1,2),μ和υ是正实数.

定义1.5设

构造随机Dirichlet-Hadamard乘积如下:

cn(ω)=[an,1Xn(ω)]μ·[an,2Xn(ω)]υ,

(6)

其中,λn、λn,j和an,j(j=1,2)来自(5)式且满足条件(2);{Xn(ω)}是概率空间(Ω,A,P)中的独立复随机变量列,μ和υ是正实数.

若F(s,ω)对某一ω∈Ω收敛,置

表示F(s,ω)的最大模.

文献[6]总结了文献[1,9-10]的结果,得到几个有关Dirichlet级数的系数、(下)q-级和(下)q-型之间关系的定理.

定理1.1[6]设Dirichlet级数(1)是满足条件(2)的整函数,其中ρ和T由(3)和(4)式定义,则

(7)

其中q=2,3….

定理1.2[6]设Dirichlet级数(1)是满足条件(2)的整函数,其中χ由(3)式定义,则

(8)

(8)式中的等号成立当且仅当

(9)

为关于n的非减函数.

定理1.3[6]设Dirichlet级数(1)是满足条件(2)的整函数,ρ和τ由(3)和(4)式定义,则

(10)

其中(10)式中的等号成立当且仅当(8)式为关于n的非减函数且ln[q-2]λn-1～ln[q-2]λn(n→∞).

2 随机Dirichlet-Hadamard乘积的增长性

2.1相关引理

引理2.1[6]假设

为2个关于n的非减函数,且满足

λn+1,2-λn,2=k(λn+1,1-λn,1),k>0,

(11)

引理2.2[6]设

分别具有q-级ρ1和ρ2的整函数.若λn,1～λn,2(n→∞),则Dirichlet-Hadamard乘积F(s)的q-级ρ满足

(12)

引理2.3[6]设

分别具有下q-级χ1和χ2的整函数.若同时满足条件λn,1～λn,2(n→∞)和(11)式,并且(9)式是关于n的非减函数,则Dirichlet-Hadamard乘积F(s)的下q-级满足

(13)

引理2.4[6]设fj(s),j=1,2是2个ρ[q]-正规增长的整函数,若同时满足引理2.3的条件,则:

(i) 由(5)式所定义的Dirichlet-Hadamard乘积F(s)也是ρ[q]-正规增长的,并且它的q-级满足

(14)

(ii) 若ρ1,ρ2∈(0,+∞),则F(s)的q-型T满足

(15)

引理2.5[6]设fj(s),j=1,2是2个完全ρ[q]-正规增长的整函数,若同时满足引理2.3的条件和

ln[q-2]λn-1,j～ln[q-2]λn,j,

n→∞,j=1,2,

(16)

则F(s)也是完全ρ[q]-正规增长的,并且它的q-型T满足

(17)

其中ρ满足(14)式.

引理2.6[6]设fj(s),j=1,2是2个完全ρ[q]-正规增长的整函数,若同时满足引理2.3的条件,则F(s)的下q-型τ满足

其中ρ满足(14)式.

引理2.7[1](i) 若{Xn(ω)}满足:∃α>0,

(18)

那么对ω∈Ωa.s.,∃N1(ω),当n>N1(ω)时,

(19)

(ii) 若{Xn(ω)}满足:∃β>0,

(20)

那么对ω∈Ωa.s.,∃N2(ω),当n>N2(ω)时,

(21)

(iii) 若{Xn(ω)}满足(18)和(20)式,那么对ω∈Ωa.s.,∃N(ω),当n>N(ω)时

n-k0≤|Xn(ω)|≤nk0,

(22)

2.2主要结论及证明由于fj(s)(j=1,2)满足条件(2),则它们都在全平面收敛.此外当满足条件λn,1～λn,2(n→∞),文献[6]已经证明Dirichlet-Hadamard乘积F(s)也在全平面收敛.随机Dirichlet-Hadamard乘积(6)是比Dirichlet-Hadamard乘积(5)更加一般的乘积.下面给出由(6)式表示的整函数的增长性.以下定理2.1至定理2.5中随机Dirichlet-Hadamard乘积(6)中的{Xn(ω)}均是满足引理2.7的条件.首先给出它的收敛横坐标.

定理2.1设随机Dirichlet-Hadamard乘积(6)满足(2)式,且{Xn(ω)}满足(18)式,那么

σc(ω)=σc=-∞,a.s.,

其中σc为(5)式的收敛横坐标.

证明由定义1.5及引理2.7的(19)式得

ln|cn(ω)|=μ(ln|an,1|+ln|Xn(ω)|)+

ν(ln|an,2|+ln|Xn(ω)|)≤

所以,由Varliron公式

因此,σc(ω)=-∞,a.s..

下面给出随机Dirichlet-Hadamard乘积表示的整函数的增长性定理的证明.

定理2.2设

分别具有q-级ρ1(ω)和ρ2(ω)的整函数.若λn,1～λn,2(n→∞),Xn(ω)满足(18)和(20)式,则随机Dirichlet-Hadamard乘积F(s,ω)的q-级ρ(ω)a.s.满足:

ρ1(ω),ρ2(ω)∈[0,+∞).

(23)

证明分两步证明:(i)由引理2.7的(22)式得

|an,j|n-k0≤|an,jXn(ω)|≤|an,j|nk0,a.s.,

从而

所以

故ρj(ω)=ρja.s.(j=1,2).

(ii) 由定理1.1有∀ε>0,存在2个正整数N1、N2,当n>N=max{N1,N2}时有

根据(6)式中cn(ω)定义有

ln|cn(ω)|-1=μln|an,1Xn(ω)|-1+

υln|an,2Xn(ω)|-1>

则

由于λn,1～λn,2(n→∞),则有:

λn,1ln[q-1]λn,1～λn,2ln[q-1]λn,2～λnln[q-1]λn,

n→∞,q=2,3….

(24)

由ε的任意性得

定理2.2得证.

定理2.3设

分别具有下q-级χ1(ω)和χ2(ω)的整函数.若同时满足条件λn,1～λn,2(n→∞)和(11)式,并且(9)式是关于n的非减函数,Xn(ω)满足(18)和(20)式,则随机Dirichlet-Hadamard乘积F(s,ω)的下q-级χ(ω) a.s.满足

(25)

证明类似于定理2.2的(i)的证明,有χj(ω)=χja.s.,j=1,2,从而

∀ε>0,存在正整数N,当n>N有

由条件λn,1～λn,2可知(24)式成立,类似定理2.2(ii)的证明,则

ln|cn(ω)|-1<(λnln[q-1]λn-1)(1+o(1))×

由于fj(s,ω)满足(11)式,根据引理1.1,ψ(n)也是关于n的非减函数.因此(8)式中的等号对于乘积函数F(s,ω)也是成立的,再加上ε的任意性,则

故(25)式成立.

推论2.1设fj(s,ω)(j=1,2)满足定理2.2和定理2.3的条件,且是2个ρ[q]-正规增长的整函数,则随机Dirichlet-Hadamard乘积F(s,ω) a.s.是ρ[q]-正规增长的,并且它的q-级和下q-级a.s.分别满足:

ρ1(ω),ρ2(ω)∈[0,+∞),

(26)

ρ1(ω),ρ2(ω)∈[0,+∞).

(27)

证明结合定理2.2和定理2.3的结论(23)和(25)式得

由于fj(s,ω)是2个ρ[q]-正规增长的整函数,则ρj(ω)=χj(ω),其中j=1,2,因此ρ(ω)=χ(ω)a.s.,所以,F(s,ω)a.s.是ρ[q]-正规增长的,且(26)及(27)式成立.

定理2.4设fj(s),j=1,2是2个分别具有ρ[q]的正规增长的整函数,且同时满足引理2.4的条件,则随机Dirichlet-Hadamard乘积F(s,ω)的q-型Ta.s.满足

(28)

其中ρ满足(14)式.

证明设F(s,ω)的q-型为T(ω),即由引理2.4知

其中ρ(ω)满足(26)式.

又根据

|cn(ω)|=|an,1Xn(ω)|μ|an,2Xn(ω)|υ

和引理2.7

|an,j|n-k0≤|an,jXn(ω)|≤|an,j|nk0,a.s.,

可得

所以T(ω)=Ta.s.,即定理2.4的结论成立.

定理2.5设fj(s),j=1,2是2个完全ρ[q]-正规增长的整函数,若同时满足引理2.3的条件和引理2.5的条件(16),则随机Dirichlet-Hadamard乘积F(s,ω)的q-型Ta.s.满足

(30)

下q-型τa.s.满足

(31)

其中ρ满足(14)式.

证明1) 随机Dirichlet-Hadamard乘积F(s,ω)的q-型Ta.s.满足(30)式,由引理2.5和引理2.7,类似于定理2.4的证明即可.

2) 设F(s,ω)的下q-型为τ(ω),则由引理2.6得

其中ρ(ω)满足(26)式.

根据

|cn(ω)|=|an,1Xn(ω)|μ|an,2Xn(ω)|υ

和引理2.7

|an,j|n-k0≤|an,jXn(ω)|≤|an,j|nk0,a.s.,

可得

所以τ(ω)=τa.s.,则F(s,ω)的下q-型τa.s.满足(31)式.

推论2.2在定理2.5的条件,则随机Dirichlet-Hadamard乘积F(s,ω)是a.s.完全ρ[q]-正规增长的.

致谢楚雄师范学院校级科研项目(2012)对本文给予了资助,谨致谢意.

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