解决实际问题的过程中建立数学模型的方法探析

摘 要：新课标将模型思想作为唯一一个以“思想”指称的十大核心概念提了出来，说明了模型思想的重要，它是联系数学知识与现实生活的桥梁。小学数学在解决实际问题教学中应将建模作为主线，在建模的过程中逐步将学生的感性认识上升为理性思维，将生活现象上升为对数学本质的认识。本文从“比较，建立直观模型”“分析，建立算式模型”“沟通，建立关系模型”等方面，以“求两数相差多少的实际问题”为例，谈谈如何在解决实际问题的过程中建模。

关键词：小学数学；解决问题；数学模型；应用模型

作者简介：曹莹莹，江苏省扬州市湾头中心小学教师。（江苏 扬州 225000）

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）07-0014-03

“解决问题”是指应用数学知识和方法解决实际问题，小学数学中的解决问题作为联系数学知识与现实生活的桥梁，是各项数学知识的整合体现，是小学数学教学的重要组成部分，也是数学教学中的一个难点。如何帮助学生在解决问题的过程中理清数量关系，建立数学模型呢？“数学建模”是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程，即“把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题”分析和解决数学问题的过程，就是解释与应用模型的过程。下文就以“苏教版”一年级（下册）“求两数相差多少的实际问题”为例，谈谈具体的做法。

一、比较，建立直观模型

任何数学模型的建立都具有具体的现实情境，教师要从学生的实际生活出发，创设与现实生活紧密联系的问题情境，唤起学生对生活原型的回忆，在新的数学问题与生活问题之间建立一种实质性的联系，并引导学生从实际情境中发现问题、提出问题。发现、提出问题是构建数学模型的知识基础，是学生充分感知、体验的过程，是获得对模型丰富、深刻认识的过程，只有真正理解透彻了，才能建构好数学模型。

笔者在教学“求两数相差多少的实际问题”时，首先出示三组物体图片（图1）。

让学生说一说，每组中谁比谁多（少），多（少）几个？你是怎么看出来的？

通过排列比较，学生就会发现，把两种小动物一个对着一个排整齐，可以一眼看出谁多谁少，相差几个。再通过追问“怎么数的？”引导学生发现求“谁比谁多几个，或谁比谁少几个”，直接数后面多出来的部分就可以了。

通过将上面几幅情境图的排列演示，引导学生从多与少的角度充分感受两个数量之间的关系，从日常生活现象抽象为数学语言，逐步引发学生对两个数量多与少的感知体验，为建立“两数相差多少的实际问题”的方法模型做好充分的准备。

接着出示两根纸条，要求学生比长短（图2）。通过交流进一步明确，只要将纸条一端对齐，量出多余的部分就是两根纸条相差的。

三幅实物图的比较感知，以及两根纸条的操作活动，学生逐步认识到比较两个数量多少的基本方法，即一端对齐，看另一端相差多少，建立了关于比较两个数量的直观模型，为进一步的抽象奠定了感性基础。

二、分析，建立算式模型

数学模型有利于帮助学生认识并理解知识的本质，能帮助学生从具体到抽象，从现象到本质地认识数学。直观模型是解决问题数学模型的初级阶段，为数学模型的建立提供了可能，要使学生将数学问题抽象成数学模型，必须要让学生经历数学化和再创造的过程，形成抽象的算式模型。

1. 出示主题图（图3）。

（1）唤醒：怎样才能知道谁抓得多，多多少呢？

怎样排列更好？（引导学生一一对应排列）

哪种颜色的花片多，多几个？从哪儿看出来的？

（2）探究：能用算式表示吗？算式里每个数各表示什么意思？为什么从红花片的个数里去掉蓝花片的个数就得到红花片比蓝花片多的个数？为什么这样列式呢？

（3）反思：刚才我们在解决哪种花片多多少这个问题的时候，可以用排一排再比一比的方法，也可以列算式计算这种方法，你喜欢哪一种？为什么呢？

老师调动学生已经形成的直观模型的表象，让学生用学具排一排、比一比的方法解决“红花片比蓝花片多多少个”这一问题。再借助直观演示理解算式13-8的含义，即：蓝花片和红花片中的一部分同样多（用一条虚线隔开），从红花片里去掉和蓝花片同样多的部分，剩下的就是相差的数量。至此，学生完成了从直观比较到算式模型的建构过程。最后讨论“蓝花片比红花片少多少个”这一问题，使学生对求一个数比另一个数多多少，或求一个数比另一个数少的问题模型形成较为完整的认识。

2. 出示图4、图5。

要求学生先用算式解决上面两个问题，再让学生说说为什么可以这样列式，并结合图示帮助学生理解。通过用长方形直条图来表示两个数量，通过直条图的比较，将具体事物转化为抽象图形。引导学生说说解决问题的方法，重点引导他们理解算式的意义。

接着将前面解决的三个问题一并出示，如图6，引导学生回顾这三个问题的解决过程，比较这三个问题的结构以及解决问题的方法有什么相同之处，帮助学生归纳出解决“求一个数比另一个数多几或少几”这类实际问题的方法模型，即“用较多的数减去较少的数”。

三、沟通，建立关系模型

建立数学模型的目的是更好地描述自然现象和社会现象，从而帮助人们更好地去认识自然、认识社会、改造自然、改造社會。建立数学模型是把一个实际问题中事物的主要特征、主要关系抽象成数学语言，同时传授给学生一些数学思想和方法，为进一步学习打下坚实的基础。对所建立的数学模型进行应用，变学数学为用数学，让数学模型具有生命活力。

有效模型的运用可让学生在建模基础上提升认识，加深感悟。用所建之模来解决生活实际中的问题，可以让学生体会到数学模型的应用价值，增强数学的应用意识，学生在实际应用中能认识新问题、感悟新方法、拓展新认知，构建自己的知识体系。构建模型的过程是由具体、逐步到抽象的过程，而运用模型的过程则是将数学模型应用于问题解决的过程。

教师在应用环节出示一组比较练习：

（1）一年级小朋友做了45朵纸花，送给幼儿园20朵，还剩多少朵？

（2）一年级小朋友做了45朵纸花，送给幼儿园一些，还剩20朵，送给幼儿园多少朵？

（3）一年级小朋友做了45朵纸花，幼儿园小朋友做了20朵，一年级小朋友比幼儿园小朋友多做多少朵？

这三个问题中前面两个问题是学生以前学过的，第三个问题是今天学习的，但有一个共同点，即都是用减法计算。教师在教学中逐题出示，请学生列式解答。接着进行追问：“这三道题意思不一样，为什么都用减法计算？”组织学生讨论后，再通过示意图（图7）的演示，帮助学生明白其中的内涵。

这是“两数相差多少”实际问题的建立模型后的一个独立练习，是对已掌握数学模型的运用和内化的过程。这其中不仅有“两数相差多少”的问题，还有之前学的“求减数是多少”的问题，不是简单地套用模型，而要通过分析各自的数量关系进行解答。三个问题的比较在很大程度上帮助学生深刻领会数学知识，建构数学体系。学生在解决问题的过程中，经历了理解分析和比较的数学化思维活动，培养了学生多角度思考问题的能力。在比较中，学生对两数相差多少就是“用多的数减去少的数”这一模型有了更深刻的认识，同时丰富了学生对减法模型的理解。

数学学习的过程既是解决问题的过程，也是建立数学模型的过程。教师不仅要向学生渗透模型思想，还要教会学生如何建立模型，引导学生运用观察、分析、比较、抽象、概括等思维方法。让学生亲身经历将现实问题抽象为数学问题，生活原型转化为数学模型，将具体事物转化为逻辑抽象的过程。只有积累将现实问题数学化的经验，感受数学模型的思想、方法及其价值，才能提高学生的数学应用意识和应用数学解决实际问题的能力。

栏目策划 韦波富 责任编辑 黄 晶