凸显运算意义 理解计算方法 内化计算法则——以《分数除以整数》的教学为例

我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出应当注重发展学生的“运算能力”，说明运算能力是义务教育阶段数学课程背景下重要的数学核心素养，是数学课程目标实现的重要保证。基于此，教师和学生都非常重视计算能力的培养和提高。但实践中，教师与学生理解及达成的情况如何呢？我们对学生的计算水平、计算习惯等进行调查分析，并深入课堂对教师的计算教学做了进一步观察剖析，发现当前教师和学生对于计算教与学存在理解上的误区和不足，主要表现在以下三个问题。

问题一：教师和学生对计算意义的认识过于狭隘。学生眼中的运算，大多是枯燥的计算，容易忽视计算学习中推理、比较、转化、迁移思想的渗透，以及各个年段计算教学内容方法的衔接。

问题二：教师不知如何把握算理理解的方式和时机。教师认识到理解算理对于学生掌握计算方法有着重要作用，但实践教学中却不知如何把握算理理解的方式和时机，想面面俱到却顾此失彼。

问题三：教师在课堂上缺少学生内化计算法则的时间。在学生呈现多样化的算法时，教师往往急于优化（哪种方法好？你最喜欢哪种方法？）但为什么这种方法好？其它方法不好在哪里？它们之间有什么联系？往往缺乏联系沟通。

近几年，针对以上教与学的问题，笔者带领江岸区一线教师着力开展计算教学实践研究，取得了一定成效。“分数除以整数”是人教版义务教育教科书六年级上册第3单元第30页例1的教学内容，它属于数的运算教学，也是小学阶段学习整数、小数、分数四则运算的最后一个单元。因此，本单元的教学在计算教学中具有举足轻重的地位。笔者就以这节课为例，谈谈我们在计算教学中的几点做法。

一、以知识包为载体，注重知识的迁移类推，凸显运算意义

学生在计算中的困难和错误往往与其对数和运算的意义理解不深有关系，而他们对运算意义及方法的理解也不是一蹴而就的。数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，各部分知识组成了一个纵横交错、紧密联系的网。美国独立学者马立平博士的《小学数学的掌握和教学》中这样描述：“在数学教学中，教师的知识包揭示了教师对开启和培养学生头脑中这样一个领域的纵向过程的理解。”人教社王永春主任在《小学数学计算教学改革的有效探索》一文中指出：“每一个新知识都是在已有知识的基础上发展的，要善于运用类比推理和比较差异的思想方法进行新旧知识的转化，达到触类旁通、方法迁移的目的。”因此，建立在对知识及知识间的关系深刻理解的基础上的数学知识结构和认知结构才是稳固丰富的。有思想深度的课，能使学生数学地思考问题的方法长存，有助于学生的可持续发展，真正提高学生的数学素质。

基于此，在这节课上，我们呈现了“数的运算知识树”，提供“整数除法的意义、计算方法及学习方法”“小数除法的意义、计算方法及学习方法”等知识包，唤起学生对已有知识的回忆，从而运用同样的思路和方法开展“分数除法”的学习。同时，引导学生回忆第一单元“分数乘法”的学习方法，例如举例子、利用长方形折涂等方法来学习“分数除法”，让学生在学习活动中，体会到数学知识不是孤立的，小学数学的学习是螺旋上升的，我们可以借助已有的学习经验来学习同类别的新知。这样的教学，不是就计算讲计算，而是将计算学习的横纵联系、思维脉络清晰地展现，这对学生来说，既是数学活动经验的积累，又是学习能力、方法的渗透，更是不可小觑的数学素养的提升。

二、数形结合，架设算理直观和算法抽象的桥梁，理解计算方法

张景中院士认为：“计算和推理是相通的，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想；计算是具体的推理，推理是抽象的计算。”计算的这个具体推理，显然就是算理的理解了。这也是计算教学中教师感到棘手的问题，不知如何把握算理理解的方式和时机，想面面俱到却经常顾此失彼。针对这些问题，我们在本节课中进行了尝试，力求基于学生的需求解决问题，具体表现在：

1.从体会“分数除法”的意义开始理解算理

2.采用多种方式理解算理

在初步理解算理之后，应该给予学生“再次理解”的机会。因此，教师要善于选择多种方式来帮助学生更好地理解算理。在这节课中，我们采取了以下两种方式。

（1）举例说明

（2）直观模型

直观模型是指具有一定结构的操作材料和直观材料。这节课，我们按照教材例1的编排也选择了长方形作为直观模型。这样，先将“几分之几”赋予图示，再将“除以几”用图表示，接下来将折、涂的过程用算式来描述，在操作活动中充分发挥数与形、形与式的结合，让学生在后面的尝试计算中有图可依，在直观模型的充分体验中完成“动作思维——形象思维——抽象思维”的发展过程，进一步理解算理。

（3）已有知识

在理解“分数除以整数”的计算原理时，要以学生的已有知识经验，即分数的意义、除法的运算意义、除法是乘法的逆运算、分数乘法的计算方法及倒数的意义为基础，让学生理解“为什么要把除法转化为乘法来计算”“怎样把除法转化为乘法来计算”，从而将所学知识融会贯通。同时，这节课的算理也将为后面进一步学习“分数除以分数”奠定基础。

三、对比优化，体会除法转化为乘法的价值，内化计算法则

针对问题三：有的教师重视让学生去探索如何计算，并在此基础上帮助学生理解算理，但是往往忽视了另一个重要的过程——计算法则（或个体使用方法）的内化与形成的教学现象，我认为，当学生经历了算法多样化，对比优化，并且对于运算的道理有所理解后，还需要学生对常规的计算法则进行再熟悉，以达到内化。

本节课，当学生在计算分数除以整数时，通常会出现以下三种计算方法：

算法的优化建立在算法多样化的基础上，如果不及时沟通几种算法之间的联系，草率地牵引到通法上来，是不符合学生认知规律的。因此，在教学时，我先让学生充分阐述各种方法的道理，找到它们之间的联系；然后通过举例，比较每种算法的优势和局限性，例如将分数转化为小数再计算的方法，当分数不能化成有限小数时计算就不方便了；用分数单位的个数去平均分的方法，当分数单位的个数不是除数的整倍数时，也不好计算。最后，学生通过比较、分析，进而运用第三种方法再次计算自己的算式，发现将分数除以整数，转化为去乘除数的倒数这个计算方法适用于所有情况，它是计算的一般方法，由此达到内化。

同时，在对比优化的过程中，学生体会“转化”产生的价值。即为什么要把除法转化为乘法？定义倒数的意义究竟是什么？定义倒数实际上是定义了两个数之间的关系，利用这个关系可以方便地把除法转化为乘法计算，而转化的目的就是为了提高运算效率。除法转化为乘法计算，之所以效率会提高，主要有两个原因：一是分数乘法的计算法则比较简单，而是转化之后乘法的运算律可以派上用场。因此，在巩固提高环节，设计这样的练习让学生进一步体会转化的价值。

四、教学感悟及反思

数学是一个整体，不同领域、不同阶段的数学知识在发展过程中都形成了独特的方法和技巧，我们要以整体的眼光看待数学的各个分支，让学生探索数学知识深处的联系，综合运用知识和方法提高分析能力和解决问题的能力。基于此，在“分数除法：分数除以整数”的教学中，我们用“整体、联系”的思想指导教学，设计了“以知识包为载体，注重知识的迁移类推，凸显运算意义→数形结合，架设算理直观和算法抽象的桥梁，理解计算方法→对比优化，体会除法转化为乘法的价值，内化计算法则”的教学主线，学生学习的整体效果还是很不错的。反思我们教的方式和学生学的方式，笔者认为还有进一步优化的空间。

1.理解算理的直观模型还可更丰富

这节课，我们按照教材例1的编排也选择了长方形作为直观模型。这样，先将“几分之几”赋予图示，再将“除以几”用图表示，接下来将折、涂的过程用算式来描述，在操作活动中充分发挥数与形、形与式的结合，让学生在后面的尝试计算中有图可依，在直观模型的充分体验中完成“动作思维——形象思维——抽象思维”的发展过程，进一步理解算理。

实际教学中，学生能在长方形上通过折、涂、比等活动理解分数除以整数的计算原理。但是，是不是只有长方形这一种直观模型能起到“以形反映数”的作用呢？显然不是。正方形、圆形、线段图……都具可操作性。因此，上完课后，我琢磨着，直观模型可否由学生自己选择？当他们面对分数除以整数的抽象算式时，对于理解分数除法的意义产生困难，根据以前的学习经验，自己选择长方形、正方形、圆形或线段图，通过折一折、画一画、涂一涂的方式来表示算式的意义，从而体会分数除法的意义。这样的做法是否更以学生为本。

2.巩固练习中还可增加题组训练

这节课，在学生体会分数除以整数的意义、理解分数除以整数的算理，并内化计算法则后，我设计组织了以下巩固练习。

第一层次：分数除以整数的基本练习。其素材是教材第30页“做一做”。

第二层次：巩固计算方法的变式练习。既有计算法则的运用，又有根据数据特点灵活选择计算方法的训练。

第三层次：对所学知识的融会贯通，也是拓展延伸。让学生进一步体会转化的价值。

这几个层次的练习，学生对于知识技能的掌握、学习经验的积累都起到了补充作用。但教学起来感觉第一层次的基本练习题量略显单薄，可以增加一些题组练习，以此巩固分数除以整数的计算方法；同时，还能训练学生根据算式中数据的特点灵活地选择计算方法。