Vasicek模型下可违约债券的现值推导

秦丝丝

(河南工学院管理工程系，河南 新乡 453003)

20世纪90年代以来，商业银行开始了金融创新，经济和金融的全球化需要金融改革。利率和汇率市场化已经得到认可，随之而来的是金融衍生品的大量涌现。信用衍生品是金融衍生市场的一大发展，其基本功能是转移信用风险。这些工具允许银行或其他机构暴露于信用风险，并将风险转移给其他投资者。信用衍生品有多种形式和规模，可根据其参考实体(公司或国家)的数量，将其归类为单名和多名信用衍生品。信用违约互换(CDS)作为信用衍生品的主流产品，在金融市场中扮演着规避风险的角色。信用违约互换最初是Jp摩根(Jp Morgan)在1994年发明的，通常用来管理企业因持有债务而产生的违约风险。CDS是双方之间的信用衍生品合约，保护买方(通常是银行)定期向保护卖方(通常是AIG等保险公司)付款，而作为回报，当信用事件发生时，前者将获得偿付。这种支付被定义为CDS价差，即按季度或每年支付欠款，并被用来衡量市场参与者对违约风险的感知，偿付是指定公司债券面值与市场价值之间的差额。

CDS作为风险管理的一个新兴工具，在计算中很难做出一个合理的定价，尤其是理论方法的选择，虽然相关的定价模型有了快速发展，但是它们是否能正确模拟信用违约互换的价格仍然需要大量的证据来证明。近年来，CDS市场相对狭窄，信息披露有限，制约了CDS定价模式的形成。本文致力于利用简化的Vasicek模型探讨随机波动对可违约债券价格的影响。

Vasicek模型的特征有在于：方程式是线性设置；可以明确的得到解的值；短期利率呈高斯分布；同时一些利率相关因子的表达和分布可以容易的得到。但是，这个模型也有缺陷，例如正向的违约概率可能伴随负向的利率。本文从一个模型的基本假设入手：

(1)在风险中立世界，利率服从Vasicek模型：

dr=(a-br)dt+θdwr

(1)

(2)

(3)

(4)wr、wλ、wv是布朗运动且相互独立。

(5)国库券回收T=RB， 这里R 代表回收率，B代表无违约零息债券的价值，B(r, t)应该满足。

(4)

假定零息债券的表达式为：

B(r,t)=exp(A(t,T)-D(t,T)r)

(5)

其中：

(6)

在这个假设的前提下，可以得到违约债券的定价公式：

=0

V(r,λ,v,T)=1

(7)

令W(λ,v,t)作为企业的存活概率，那么债券价格可以被表示为：

V(λ,r,v,t)=W(λ,v,t)B(r,t)+(1-W(λ,v,t))RB(r,t)

(8)

这里W满足：

W(λ,v,T)=1

(9)

假设以上公式的解为：W(λ,v,t)=exp(X(t,T)-Y(t,T)λ-Z(t,T)v)

(10)

使用CIR模型中出现过的类似方法，基于边界条件X(T,T)=0、Y(T,T)=0、Z(T,T)=0，可以得到对应的值：

(11)

(6)如果选择市场价值的恢复M=RV，那么可违约债券的定价公式变为：

V(r,λ,v,T)=1

(12)

债券价值的解：V(λ,r,v,t)=exp(F(t,T)-G(t,T)λ-H(t,T)r-J(t,T)v)

其中：

江西服装学院是经国家教育部批准设立的全日制普通本科高校，学院现有各类在校生13000余人。学生数量不断增加，但学生公寓管理仍旧采用原始纸质和人工整理方式，导致学生公寓管理质量得不到更好地改善[2]。

(13)

这部分主要讨论了简化模型下的可违约债券价格，提供了一种伴随随机波动的违约强度模型，并且构建了无套利条件下债券价格，同时得到了在限定条件下的债券价格的现值的解。这里的债券价格决定于利率、违约强度和波动，利率服从Vasicek模型同时也适用于均值回归的特征。包含随机波动的违约强度已经被证明实用性更强。但是Duffie、Singleton和其他经济学家的研究发现信用价差的期限结构对波动的变化并不敏感。另外，违约强度和波动不能直接在债券市场被观察到，所以该模型涉及到的变量因子很难收集。

Vasicek和CIR模型都是用线性的均值回归标准模拟偏移成分，但是后续研究建议偏移成分是非线性的，在低利率的情况下均值回归的影响是微弱的，但是它会随着即期利率的增加而增长。Ahn和Gao(1999)采用了以下方式：

同时他们也计算出了均值回归的期望值：

(14)

γ[a;b]代表不完全伽玛函数。

基于Ahn、Gao模型，存在假设：

对V(r,λ,v,t)应用伊藤定理得到：

(15)

很明显这是一个非线性偏微分方程，通常情况下不能得到闭合形式的解。现在，对利率的长期均值回归采用泰勒近似展开式。

设置：θ=Et[r(s)|r(t)]

(16)

将公式(16)代入公式(15)得到近似方程：

(17)

这里可以得到一个线性的方程，接着采用一个常用的方法去解该方程。

假设公式(17)的解：

V(r,λ,v,t)=exp(A(t,T)+B(t,T)r+C(t,T)λ+D(t,T)v)

(18)

伴随边界条件：A(T,T)=B(T,T)=C(T,T)=D(T,T)=0

(19)

得到对应值：

最后得到非仿射假设的利率和服从CIR的违约强度的可违约债券近似解。

本文基于假设前提：利率和违约概率遵循简化的Vasicek过程，根据相关假设，借助伊藤定理推导出可违约债券的现值，同时加入了讨论在简化模型下随机波动对违约债券定价的影响。另外，文章借助Ahn、Gao模型，利用非线性的均值回归标准模拟偏移成分，最终得到可违约债券的价格近似值，这也是文章的一个创新之处。

[1] Brigo, D.Constant maturity credit default swap pricing with market models[J].Available at SSRN 639022，2004.

[2] Brigo, D.and Mercurio, F.Interest rate models[J].1st edn.Berlin:Springer，2006.

[3] Cairns, A.J.Interest rate models:an introduction(Vol.10)[J].princeton University press，2004.

[4] Hull, J.C.and White, A.D.The valuation of credit default swap options[J].The journal of derivatives,2003,10(03), 40-50.