利用延时负反馈进行延时差测量的方法

李 强

(中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081)

0 引言

在雷达、声纳、射电天文、导航和定位等领域广泛地应用了延时的测量技术。对于雷达、声纳等的无源定位，主要采用时域或频域的解模糊函数的方法检测出延时差与多普勒频差[1-4]，或者采用相位干涉仪检测出相位差和相位差变化率[5]，再经过处理后获得目标的位置、航向和速度等信息。甚长基线干涉测量(VLBI)技术利用相关处理机从接收信号中获得各个接收天线间的延时差与延时率，从而获得被测目标的各种信息[6]。上述检测方法都需要在时域或频域对信号进行复杂的高速信号处理，如VLBI进行相关处理时，要根据精确的时延和时延率模型对测站数据进行时延补偿和条纹旋转才能获得优质的干涉条纹[7]。本文提出了一种完全在时域进行延时检测的数字信号处理方法，该方法能够从各种载波中提取出实时的相对延时差信号与延时率信号(相当于多普勒频差)，相对于传统的检测方法具有实现简单、实时性好、可获得宽频带的延时信号的优点。

1 延时检测的基本原理

设对收到的宽带的类白噪声信号进行频域k分段，其中第i段信号表示为fi(t)，ωi是第i段信号对应的中心频率。A基站接收的第i段信号经过窄带的线性相位带通滤波器(延时为固定值)后，近似为窄带高斯白噪声信号[8]。

uai(t)=a(t)cos{ωit+θi(t)}，

(1)

式中，ωi为第i段信号的中心频率；θi(t)为零均值的在(-π，π]均匀分布的信号相位；a(t)为服从瑞利分布的信号的幅度[8]。

同时B基站接收信号的传输途径产生了相对A基站的距离改变，距离改变造成传输时间的变化为ψ(t)，τi是2个基站处理通道的相对固定延时， B基站接收的第i段信号为fi(t+ψ(t)+τi)，B基站第i段的信号经过与A基站相同的窄带线性相位带通滤波器后，近似为窄带高斯白噪声信号[8]。

ubi(t)=kia[t+ψ(t)+τi]×

cos{ωi[t+ψ(t)+τi]+

θi[t+ψ(t)+τi]}，

(2)

式中，ki为B基站相对基站A的增益。

2个基站的第i段信号被下变频到中心频率ω0，并设2个基站的处理通道有相同的固定延时，因此忽略通道延时的影响。然后进行A/D采样与相位相减处理，得相位差信号：

φi(t)=ωi·τi+ωi·ψ(t)+

θi[t+ψ(t)+τi]-θi(t)，

(3)

式中，θi[t+ψ(t)+τi]-θi(t)项决定了输出信号的底噪，在ψ(t)+τi大于相关时间τ0后θi[t+ψ(t)+τi]与θi(t)不相关，τ0由检测时信号的互相关函数决定[9]。

在ψ(t)+τi相对τ0较小时，θi[t+ψ(t)+τi]与θi(t)强相关，根据微分的性质，因此有

θi[t+ψ(t)+τi]≈θi(t)+θi′(t)[ψ(t)+τi]，

(4)

式中，θi′(t)可理解为当前的瞬时频率，瞬时频率的频率谱密度在检测带宽内近似为常数，取值范围为-B1/2～+B1/2，B1为检测信号的带宽。

将式(4)代入式(3)中，得到

φi(t)≈ωi·τi+ωi·ψ(t)+θi′(t)[ψ(t)+τi]。

(5)

由式(5)看出相位解调出带有幅度为θi′(t)的噪声。由式(5)得到延时信号为：

(6)

通常ωi>>θ′(t)，所以延时信号可近似为：

(7)

2 延时信号的测量方法

2.1 锁时环的组成原理

延时信号的测量方法很多，本文采用延时负反馈环路(简称锁时环)进行延时检测，锁时环的组成原理如图1所示。

图1 锁时环的组成原理

图1中，A基站第i段中频信号ai经过延时调整，大致消除基站间固有的延时后与本地信号2cosω0t、2sinω0t分别相乘，并经过带宽B1的低通滤波器1滤除高频分量后，变成零中频的2路正交信号Iai(t)、Qai(t)。B基站第i段中频信号bi经过数控延时调整，与本地信号2cosω0t、2sinω0t分别相乘，并经过带宽B1的低通滤波器1滤除高频分量后，变成零中频的2路正交信号Ibi(t)、Qbi(t)。

利用矢量合成法完成2路正交信号的相位相减，并得到正交的2路输出信号I(t)与Q(t)：

(8)

对信号I(t)与Q(t)经过带宽为B2的低通滤波器2滤除高频分量，再相除后求反正切得：

[ωi+θi′(t)]×[τi+ψ(t)]，

(9)

得到A基站第i段信号与B基站第i段信号的相位差φi(t)，φi(t)经过环路滤波器后控制本地数控延时器，组成锁时环环路。

2.2 锁时环的工作原理

锁时环是时间负反馈环路，由于不可能产生超越当前的时间，所以只能使用相对的时间超前。如先对A通道延时10 000个采样周期，则B通道可以产生相对A通道超前10 000个采样周期，B通道相对A通道的滞后时间可以无限。

与锁相环类似，锁时环线性模型如图2所示。锁时环由鉴时器、环路滤波器和数控延时器组成延时负反馈环路。

图2 锁时环的线性模型

数控延时器是一个对输入信号进行线性延时的部件，在此设增益为kt。

环路滤波器实现了环路的低通滤波，在此设环路滤波器的传输函数为F(s)。环路滤波器的传输函数F(s)决定了环路的性能，配置不同的环路滤波器，可完成不同的延时跟踪性能。

2.3 一种配置环路滤波器的方法

如果采用锁相环的二阶二型环形式[10]，则理想二阶锁相环的大多数研究成果都可以适用于锁时环。在此将锁时环的环路滤波器配置为二阶二型环形式，则环路滤波器的传输函数为：

(10)

式中，υ1与υ2是可以配置的2个环路参数。由此得到锁时环的开环传输函数为：

(11)

锁时环的闭环传输函数为：

(12)

锁时环的误差传输函数为：

(13)

式(12)和式(13)中，K=ktωi。由式(12)可以看出，锁时环的闭环输出对输入延时为二阶低通滤波特性。由式(13)可以看出，锁时环的误差输出对输入延时为二阶高通滤波特性。

由式(10)～式(13)可以看出，二阶二型锁时环与采用理想二阶锁相环具有相同的系统性能，最主要性能包括：对于固定延时稳态误差为零；频率阶跃(延时率恒定)的稳态误差为零[10]；对小于环路带宽的输入延时信号进行调制跟踪；对大于环路带宽的输入延时信号跟踪其载波，误差输出为高频的延时信号[10]。

2.4 数控延时的实现

可以利用大容量RAM存储器实现较大的可控延时[11]，以当前的RAM容量，已经做到2 Gbit以上，如果数据宽度为32 bit，在采样速率5×10-8s下最大可实现3.35 s的延时。组成锁时环的数控延时器仅由延时存储器实现，会由于时间控制的截断造成额外的杂散与输出噪声，因此还需要高精度的数控延时器。高精度的数控延时器可以使用Farrow滤波器等小数周期的延时滤波器实现[12]。实际的数控延时器为延时存储器与高精度数控延时器的串联，兼顾了高精度与大延时的控制需求。

2.5 对输入信号的适应性

在前面假设输入信号为宽带的类白噪声信号，实际工作的信号可能是单载波、宽带或窄带的各种调制信号，或者是工作信号的统计规律是均匀分布噪声、Rician分布噪声、Rayleigh分布噪声等噪声信号，只要满足通道的滤波器采用群时延为常数的线性相位滤波器，锁时环都能够很好地工作。

2.6 锁时环的噪声性能分析

2.6.1 延时对输出信号噪声的影响

不考虑本地热噪声情况下,宽带输入信号的互相关函数R(τ)在τ=0时完全相关，相关相位的输出不含噪声；在τ≠0时，随τ的增大R(τ)的幅度变低，降低部分的能量转换为噪声输出。经过仿真拟合出锁时环开环情况下延时造成的相关相位的输出噪声方差近似为：

(14)

2.6.2 本地热噪声对相关相位的影响

A基站信号的信噪比为：

复信号分别为：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

对信号uab(t)使用式(9)估计出相关相位，由文献[10]可知相关相位的噪声方差为：

(20)

由式(7)和式(20)得到延时信号的方差为：

(21)

2.6.3 锁时环对延时信号噪声的影响

由文献[10]可知，锁时环具有和锁相环相同的系统传输函数，由此热噪声对相关延时的噪声方差具有相同的影响，即

(22)

类似的有延时对输出噪声的方差近似为：

(23)

通常情况下BL<

2.6.4 与VLBI延时测量方法的对比

VLBI接收射电源的热噪声测量误差公式[13]：

(24)

式中，fbw为使用的信号频率带宽；Tobs为测量的积分时间；SNRQRS为射电源信号在1 s累积时间后的信噪比。因此，VLBI探测器的相关处理机更适合通过长时间的积累完成弱信噪比信号的延时检测，但长时间的积累也降低了延时信号的频率带宽。

2.7 使用锁时环的优点

当前有多种时延的测量方法，例如仅用图1中的φi(t)输出也能够进行延时检测，由式(21)可知减小低通滤波器2的带宽为B2，可以有效地降低输出噪声；也可以用平均次数为N的平均滤波完成低通滤波器2，这样平均滤波输出信号的噪声方差可以降低N倍。但随着滤波程度的加深，输出信号的带宽也变窄，对于大动态范围且宽带的延时信号，直接的相关相位检测必须附加很多其他处理才能够达到延时检测的目的。因此利用锁时环闭环跟踪变化的时延进行时延测量具有以下优点。

2.7.1 自动完成相关相位的解卷绕

合适设置环路滤波器后可以使锁时环闭环锁定后的稳态相差为零，可以无误差地跟踪延时的慢变化，从而消除了相关相位的2π解卷绕问题，进而能够无模糊地自动完成大动态范围的时延的检测。

2.7.2 自动完成多普勒频移的检测

多普勒频移的产生是相对位移的变化产生的，对信号的影响可表示为延时率的变化。在设置为二阶二型锁时环的情况下，固定延时率的闭环稳态误差为零，而增加锁时环的阶数可以完成无误差的跟踪高阶的延时率。

2.7.3 高频延时信号的解调

在二阶二型锁时环闭环情况下，相关相位的输出(即误差延时信号)是具有高通特性的延时信号。误差延时信号自动消除了固定延时与低频延时的影响，可以输出高频延时信号的带宽为[ωn,B2/2],其中ωn为锁时环的闭环带宽。

2.7.4 完成宽频段时延的检测

合适设置环路滤波器后，使锁时环能够可靠地锁定与跟踪，如果需要宽频段时延的检测，可以使用式(25)合成宽频段的输出时延，

τ(s)=ktτ0(s)+τe(s)/ωi。

(25)

如此处理后可以完成从固定时延到频率为B2/2范围内的时延测量。

2.8 主相关峰的判别

由于限带信号的自相关函数R(τ)是一种Sa函数，造成延时检测的相关相位具有以2π为周期的卷绕，任何一段[2mπ-π,2mπ+π)的相关相位区间都可能使环路进入锁定(其中m为整数)，这会造成锁时环的错锁，因此在锁时环闭环前需要进行判断。判断的方法是利用信号的自相关函数R(τ)在τ=0时为最大的特性，如图1中的2个信号在数控延时后相乘，再经过低通滤波的输出，可用于判断锁时环是否进入自相关函数的主相关峰，进入后再进行闭环。

3 仿真分析

使用Matlab中的Simulink软件对本方案的图1进行仿真。

3.1 锁时环系统的响应

仿真中采用零均值、σ为1、采样周期2 μs高斯白噪声作为信号源；NCO信号为频率5×105rad/s的正交正弦波；低通1的截止频率为5×104rad/s，低通2截止频率为4 000 rad/s时；使用起始值为0，阶跃时间0.1 s、幅度1的阶跃信号模拟固定延时信号；使用起始值为0，阶跃时间0.3 s、幅度0.000 1的阶跃信号对时间积分，来模拟延时斜升信号；环路滤波器的参数v2为4×10-5，参数v1为1×10-7。

在上述条件下仿真出的输入延时信号、输出信号、误差信号的波形，如图3所示。图3中的竖坐标为相对延时轴，单位T为2 μs的采样周期。

图3 锁时环跟踪阶跃与斜升延时的仿真

由仿真得出结论：采用图1形式的二阶二型锁时环能够从宽带信号中检测出高信噪比的延时差信号，并能够大动态范围地实时跟踪2个通道的相对延时变化，对固定时延与延时斜升信号的稳态跟踪误差为零。

3.2 输出信号的噪声性能的仿真

由文献[14]可知,正弦波信号相位估计的克拉美-罗限为：

(26)

式中，A为信号的幅度；N为累积样本数；σ2为高斯噪声的方差。本文的采用高斯白噪声信号作为信号源，在2个通道加入独立统计的高斯白噪声作为热噪声，对不同环路信噪比下的锁时环的输出噪声进行仿真，采用正弦波信号相位估计的克拉美-罗限作为对比，用仿真结果制作图4。

图4 锁时环的误差与信噪比关系的仿真

由仿真得出结论：在锁时环的环路信噪比大于6 dB后，锁时环的输出方差与克拉美-罗限的相对偏差小于5%，锁时环能够稳定可靠的工作；随环路信噪比的提高，锁时环的输出方差减小，并满足式(22)的关系；在环路信噪比小于3 dB后，锁时环不能够稳定的锁定。

4 结束语

不需要对宽带信号进行复杂的相关运算，利用延时负反馈环路的环路输出延时跟踪特性，可以在时域实时检测出时变的延时差信号。采用二阶二型锁时环可以自动无误差地跟踪固定延时与延时斜升信号的延时变化，从而检测出高信噪比的延时信号，并通过仿真验证了以上结论。根据自控原理，二阶二型锁时环对于高阶延时率的跟踪会产生稳态的偏差，需要增加环路滤波器的阶数与型数才能实现无误差的跟踪。如果需要检测低频延时信号或高频的延时信号，可以通过合理配置锁时环的环路滤波器参数来达到目的。

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