瓷绝缘子临界裂纹尺寸的新型数值计算方法研究

（国网池州供电公司，安徽池州247000）

0 引言

瓷绝缘子在电力系统中起着重要的电气绝缘和机械支撑作用，但在外界因素和自身缺陷的影响下，瓷绝缘子的断裂现象时有发生，严重影响了电力系统的安全稳定运行。工程实践表明裂纹引起的结构断裂失效是工程中最重要、最常见的失效模式，而由瓷绝缘子的大量断裂事故统计也发现其断裂与瓷绝缘子存在裂纹有关[1]，当裂纹尺寸大于某一临界值时便会发生失效扩展造成瓷绝缘子断裂。因此，通过临界裂纹尺寸来指导瓷绝缘子的无损探伤及状态评估，对其安全可靠运行具有重要的意义。

文献[2]通过简化的支柱瓷绝缘子力学模型及断裂力学理论，分析了其断裂的临界裂纹尺寸大小。文献[3]根据断裂力学理论推导了薄板临界裂纹尺寸的简化解析计算公式，分析了薄板的临界裂纹尺寸分布情况。文献[4]通过有限元法分析了汽缸的受力情况，并根据断裂力学方法计算了汽缸不同位置的临界裂纹尺寸。文献[5]提出了简易钢结构模型的临界裂纹尺寸计算方法，分析了裂纹尺寸在结构失效中的重要角色。以上文献在计算临界裂纹尺寸时，均根据断裂力学的方法来获得临界裂纹尺寸的简化解析计算公式，但对于复杂几何模型则误差较大，难以满足精确性的要求，且尚未对瓷绝缘子的临界裂纹尺寸分布规律进行深入研究。

笔者提出了一种基于断裂力学及有限元理论的临界裂纹尺寸新型计算方法，通过含圆孔平板临界裂纹尺寸的计算验证了本文方法的有效性，将其应用于支柱瓷绝缘子表面裂纹的临界尺寸计算，分析了不同位置和不同长深比下的临界裂纹尺寸大小及变化规律，为支柱瓷绝缘子的无损探伤及运行维护提供有效的理论指导和技术支持。

1 临界裂纹尺寸的新型数值计算方法

1.1 应力强度因子数值求解方法

应力强度因子的求解方法有解析法、实验方法和有限元数值法三种[6]，解析法只适用于简单几何结构的裂纹，对于复杂的误差较大，而实验方法则在裂纹模型预制及前沿多点数据测量方面存在不足。有限元数值法因具有强大的模拟和数值计算功能，在裂纹应力强度因子的求解中获得了广泛的应用。基于有限元法的应力强度因子求解方法主要包含位移法和积分法[7]，从能量角度出发的交互积分法求解的结果具有更低的误差，应力强度因子的输出只需要进行一次后处理，使得计算更加简便，分析的效率得到提高，因此，笔者采用交互积分法来求解裂纹尖端的应力强度因子。

由断裂力学理论知积分为

式中：W=σijεij/2表示材料的应变能密度；T表示在积分边界上所作用的力；u表示边界上的位移；s表示弧长。

将真实载荷引起的裂纹尖端场与一个可设计的辅助裂纹尖端场相叠加带入到式（1）的J积分中为

整理后可得:

式中表示真实场与辅助场的相互作用积分：

对于线弹性情况，相互作用积分和应力强度因子存在关系：平面应力为E*=E，平面应变为则可得：

1.2 临界裂纹尺寸的数值计算方法

有限元数值法具有强大的建模能力，适用于复杂几何模型及各种载荷条件，在裂纹建模及应力强度因子求解方面拥有很高的精度。三维裂纹数值建模的方法主要有逐节点的直接建模法和三维裂纹实体建模法[8]，逐节点的直接建模法存在着建模复杂，不适用于复杂几何模型的裂纹建模，而三维裂纹实体建模法采用“自上向下”的整体建模思路，具有更好的适应性，且能很好地保证精确度。结合裂纹三维实体建模法及应力强度因子的有限元数值求解方法，以含圆孔平板弧形裂纹的临界裂纹尺寸为例，临界裂纹尺寸的数值计算方法：

1）建立无裂纹缺陷的含圆孔平板模型，如图1所示，设定允许的应力强度因子差∆K。

2）根据裂纹的类型，设定相应的初始临界尺寸，并建立对应的三维裂纹辅助模型，如图2所示，图中弧线mn为孔边裂纹前缘，a、b分别为椭圆形裂纹的长半轴和短半轴，A模型为对应的三维裂纹辅助模型。

3）设定所需获得的临界裂纹尺寸的位置，并将所建立的三维裂纹辅助模型移动到含圆孔平板模型的相应区域。

4）对于圆孔平板中与裂纹辅助模型重叠的区域，应用布尔减将其除去，并对剩下的模型与裂纹辅助模型A进行布尔粘结操作，为便于观察裂纹辅助模型的位置，对粘结后的含裂纹模型进行了旋转，如图3所示。

5）对裂纹辅助模型的面进行二维裂纹网格划分，然后由体扫掠方式生成三维裂纹辅助模型的三维裂纹网格，并清除之前的面网格，裂纹辅助模型的网格划分情况如图4所示，裂纹尖端采用稳定可靠的20节点奇异单元。对于剩下的区域则采用自由网格划分。整体裂纹网格划分情况如图5所示，可观察到裂纹辅助模型A和裂纹尖端m、n的网格划分情况及自由划分网格的情况。

6）施加相应的载荷及约束条件等，进行应力强度因子的数值计算。

7）比较材料本身断裂的临界应力强度因子K0与计算出的应力强度因子K之间的关系，若两者之差|K-K0|＜∆K，则输出计算得到的临界裂纹尺寸，否则对裂纹尺寸进行相应的调整，重新进入步骤2）的计算。

图1 无缺陷平板模型Fig.1 The flat plate model without defect

图2 孔边裂纹及其辅助体Fig.2 Crack near the hole and its auxiliary body

图3 含裂纹平板模型Fig.3 The flat plate model with crack

图4 裂纹区域网格划分图Fig.4 The meshing graph of crack region

图5 整体网格划分图Fig.5 The overall meshing graph

1.3 临界裂纹尺寸数值法的验证分析

对于简单的几何模型结构及裂纹形式，根据断裂力学的相关理论可以推导出其应力强度因子的解析表达式[9]，在已知材料的临界应力强度因子KIC的情况下，可由解析表达式求解出材料临界裂纹尺寸的近似解析解。根据应力强度因子手册[10]：对于含圆孔厚板板的孔边椭圆形裂纹，其前缘各点应力强度因子的解析解可由下式表示，式（7）对应于a/b≥1的情况，式（8）对应于a/b＜1的情况。

式中：a、b分别为椭圆形裂纹的长半轴和短半轴；h为平板厚度；M为一无量纲的常数系数；p为厚板承受的均匀拉伸应力；Q为形状因子；r为圆孔半径。

相关研究表明裂纹最深点（θ=90o）的应力强度因子值是最大的，而且还是材料发生断裂的最主要影响因素[11]，因此本文只对裂纹最深点的应力强度因子进行分析。当裂纹a/b=2时，在厚板两端垂直裂纹方向施加不同大小的拉力载荷，根据本文提出的临界裂纹裂纹尺寸数值计算法获得的临界裂纹尺寸和式（7）求解得到的临界裂纹尺寸结果对比如图6（a）所示。当厚板的拉力载荷为1 MPa时，改变裂纹的长半轴与短半轴之比b/a，计算得到的临界裂纹尺寸结果对比如图6（b）所示。

图6 临界裂纹尺寸计算对比结果Fig.6 Comparison results of critical crack size

由图6可以发现本文裂纹建模方法计算得到的应力强度因子数值解与理论解析解的结果非常相近，数值解要更小一些，但误差都在2.7%以内，因此，本文的裂纹建模方法是合理有效的，而且本文的裂纹建模法简单高效，对于应力强度因子手册上没有的复杂几何结构裂纹的应力强度因子大小，本文方法也能很好地求解。

2 支柱瓷绝缘子的有限元建模及分析

高压支柱瓷绝缘子一般由铸铁法兰、胶装水泥和瓷体组成[12]，铸铁法兰的作用为固定和连接，胶装水泥为铸铁法兰与瓷体间的水泥填充剂，有限元分析时假定胶装水泥与铸铁法兰、瓷体完全粘牢，瓷体多为脆性陶瓷材料，作用为绝缘和机械支撑。支柱瓷绝缘子多为户外式，运行环境恶劣，受力复杂，导致其故障概率要高得多。户外支柱瓷绝缘子的受力主要有重力、弯曲力和热膨胀应力等[13]，其材料特性参数和主要尺寸参数主要分别如表1、表2所示。

表1 瓷绝缘子结构参数Table 1 The structure parameters of porcelain insulator

表2 瓷绝缘子材料力学性能参数Table 2 The parameters for materials’mechanical properties of porcelain insulator

2.1 瓷绝缘子的有限元建模

根据支柱瓷绝缘子结构，建立无裂纹缺陷的相应有限元数值模型如图7所示，部分区域的网格划分情况如图8所示。对其底端施加位移约束，施加的载荷包括：顶部垂直轴向的水平向左弯曲载荷，垂直向下的重力载荷及温度载荷。弯曲载荷为16 KN·m，重力加速度为9.8 m/s2，温度为-3℃（瓷绝缘子冬季低温下受力更恶劣），然后ANSYS17.0环境下对支柱瓷绝缘子进行结构静力学计算。由于瓷绝缘子断裂主要发生在脆性瓷体区域[14]，因此本文主要分析瓷体部分的应力分布情况，如图9所示。

2.2 瓷绝缘子的三维裂纹实体建模

根据笔者提出的瓷绝缘子临界裂纹尺寸计算方法，支柱瓷绝缘子陶瓷材料的临界应力强度因子KIC=2.69 MPa·m1/2，设定好裂纹初始临界尺寸后建立的裂纹辅助体如图10（a）所示，将其移动到瓷绝缘子模型相应区域并进行相应的布尔操作后的含裂纹瓷绝缘子模型如图10（b）所示，裂纹尖端的应力应变奇异性通过前缘采用三维20节点等参退化奇异单元来模拟[15]，其它区域采用自由网格划分，划分好的含裂纹模型网格图如图11所示。

图7 瓷绝缘子有限元模型Fig.7 Finite element model of porcelain insulator

图8 瓷绝缘子部分区域网格划分情况Fig.8 Meshing situation of porcelain insulator partial region

图9 瓷绝缘子瓷体部分应力分布Fig.9 Stress distribution of porcelain insulator body part

3 支柱瓷绝缘子临界裂纹尺寸分析

根据无裂纹缺陷瓷绝缘子的应力分布可以发现，瓷绝缘子应力分布近似呈前后对称关系，右半部分为拉应力分布区域，瓷绝缘子瓷体为脆性陶瓷材料，其在拉应力作用下易发生断裂，而在压应力作用下相对安全，且支柱瓷绝缘子断裂事故相关统计表明其断裂部位95%以上位于下法兰口到第一瓷体伞裙之间的拉应力部分[16]，因此本文只对下法兰口到第一瓷体伞裙之间拉应力分布区域进行相关研究。

图10 瓷绝缘子裂纹建模Fig.10 The crack modeling of porcelain insulator

图11 瓷绝缘子网格划分Fig.11 Meshing situation of porcelain insulator

3.1 不同裂纹位置下的临界裂纹尺寸

为分析当裂纹处于不同位置时，瓷绝缘子的临界裂纹尺寸的大小及变化规律，根据提出的临界裂纹尺寸数值计算方法，对瓷绝缘子不同位置的临界裂纹尺寸进行计算。裂纹分布位置如图12所示，设置裂纹长度与深度比为1，计算得到的角度θ=0时临界裂纹尺寸随高度h的变化规律如图13所示。

图12 裂纹分布位置图Fig.12 The distribution of crack position

由图13可知，当裂纹角度θ=0时，临界裂纹尺寸随着裂纹所处高度h先逐渐减小，再逐渐增大，约在h=102 mm处达到最小，最小值为3.96 mm，而瓷体法兰口位置为h=100 mm。保持h=100 mm不变，改变裂纹所在位置的角度θ，计算得到的临界裂纹尺寸随角度θ的变化规律如图14所示。由图14可知，临界裂纹尺寸的大小是关于θ=0对称的，θ=0时最小，θ偏离0°越远，临界裂纹尺寸越大。

图13 不同高度h下的临界裂纹尺寸Fig.13 Critical crack size under different altitude h

图14 不同位置角度θ下的临界裂纹尺寸Fig.14 Critical crack size under different position angle θ

3.2 不同长深比下下的临界裂纹尺寸

瓷绝缘子断裂事故相关分析表明：瓷绝缘子裂纹的形状在实际中是很复杂的，虽然主要为直缘裂纹，但其长深比却变化较大。为分析不同长深比下裂纹的临界尺寸大小，保持裂纹所在位置不变，改变裂纹的长深比，计算得到的不同长深比下临界裂纹尺寸的变化规律如图15所示。由图15可知，随着裂纹长深比的增大，临界裂纹尺寸逐渐减小，且减小的程度越来越小，即裂纹长度对临界裂纹尺寸的影响比深度要更小。

图15 不同长深比下的临界裂纹尺寸Fig.15 Critical crack size under different length-to-depth ratio

4 结论

瓷绝缘子裂纹尺寸超过某一临界值时会发生断裂现象，严重影响电力系统的安全稳定运行。本文基于断裂力学和有限元相关理论，提出了一种新型的临界裂纹尺寸数值计算方法，通过含圆孔平板临界裂纹尺寸解析解与数值解的对比分析，验证了本文方法的有效性，将其应用于支柱瓷绝缘子表面裂纹临界尺寸的计算，分析了不同位置和不同长深比下的临界裂纹尺寸大小及变化规律，结果表明该支柱瓷绝缘子的最小临界裂纹尺寸位于下法兰口附近位置，且裂纹长深比不同，临界裂纹尺寸大小也不同，临界裂纹尺寸主要由裂纹深度决定。本文研究结果可为瓷绝缘子无损探伤灵敏度的确定及其运行状况评估提供有效的理论指导和技术支持。

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