网络RTK内插模型抗差性分析

李滢,陈明剑,左宗,王建光

(1.信息工程大学 地理空间信息学院,河南 郑州 450001; 2.北斗导航应用技术协同创新,河南 郑州 450001)

0 引 言

网络RTK技术作为一种基于连续运行参考站网(CORS)的网络差分定位技术,解决了常规RTK技术由于作用范围有限而导致的应用受限问题,是对传统差分定位模式的一次重要革新[1-2]。在网络RTK中,流动站大气延迟的准确估计和改正关系到用户最终定位精度和可靠性[3],是网络RTK技术研究的重点问题。研究表明内插模型满足网络RTK大气改正需求[4],常用的网络RTK内插模型包括距离相关误差模型(DIM)、线性内插模型(LIM)、线性组合模型(LCM)、低趋势面模型(LSM)、最小二乘配置模型(LSC)和克里金插值模型(KRG)[5-9]。目前,对于网络RTK内插模型的研究主要集中在对模型内插精度的比较分析和对模型的精化改进两个方面[4,9]。流动站大气延迟估计精度除了与模型固有内插精度有关,还主要受实时解算的参考站间大气延迟准确性的影响。文献[3]提出不同内插模型抵抗参考站间大气延迟偏差影响的能力不同,即模型的抗差性不同。现有关于网络RTK内插模型抗差性的研究较少,文献[3]简要分析了DIM模型和LIM模型的抗差性,结果表明模型抗差性随内插点位的不同而变化,LIM模型较DIM模型抗差性随点位变化波动较大。

本文基于以上研究基础,以常用内插模型为研究对象,根据误差传播定律提出误差影响因子的概念以评价内插模型的抗差性,在推导模型误差影响因子几何意义的基础上通过实验分析探究不同内插模型抗差性的空间分布特征,对网络RTK内插模型的选择和优化具有重要意义。

1 网络RTK内插模型

在实际应用中一般以三角形为解算单元,即基于三角形解算单元实时解算的参考站间大气延迟内插出流动站与主参考站间的大气延迟。参考站A、B、C构成三角形解算单元,选择距离流动站u最近的参考站A为主参考站。网络RTK内插模型都是基于空间相关性原理,可通过数学推导建立其统一模型[4]:

Vu,A=α1VB,A+α2VC,A,

(1)

式中:VB,A、VC,A分别为基线AB、基线AC上的双差大气延迟;Vu,A为流动站u与主参考站A间的双差大气延迟;α1、α2为模型内插系数。

对于三角形解算单元,LIM模型和LCM模型的数据结构相同,LSM模型由于在解算中需要至少4个参考站,不适用于三角形解算单元[11]。 因此,本文主要介绍DIM模型、LIM模型、LSC模型和KRG模型,并基于三角形解算单元推导其内插系数,内插系数的推导是在东北天坐标系下进行。

1.1 LIM模型

V=aΔE+bΔN.

(2)

基于三角形解算单元,基线AB、基线AC上的双差大气延迟均满足式(2),得到

(3)

拟合函数的系数a、b有唯一解,流动站u与主参考站A间的双差大气延迟也满足式(2),则LIM模型的内插系数为

(4)

1.2 DIM模型

DIM模型早在1997年由Gao提出用于网络RTK电离层延迟建模[6],该模型以流动站与参考站的距离为参数,通过距离倒数所占的比值确定内插系数,适用于小区域空间相关误差建模[1]。基于三角形解算单元,其内插系数为

(5)

式中,duB、duC分别为流动站u到参考站B和参考站C的距离,其计算公式为

(6)

1.3 LSC模型

LSC模型最早被用于地球重力场的插值,Raquet等将其用于内插网络RTK用户位置的电离层延迟和对流层延迟[8]。LSC模型通过参考站与流动站空间相关误差之间的方差与协方矩阵,在最小均方差原则下由实时解算的参考站间空间相关误差估算流动站与主参考站间的空间相关误差。基于三角形解算单元,LSC模型描述为

(7)

则LSC模型内插系数为

(8)

(9)

式中:cmn为参考站m和n之间的相关函数; odijk(2000)定义其为距离线性函数cmn=dmax-dmn.dmn为参考站m和n之间的距离;dmax为最大距离,需大于参考站间最长距离,本文中取值为150 km.

1.4 KRG模型

KRG模型最早由南非矿业工程师Krige提出并以其名字命名,是一种空间自协方差最佳差值方法,充分考虑了样本数据在空间和时间上的相互关系[9]。KRG模型与LSC模型相似,但其内插系数需满足和为1的约束条件,添加到式(7)的参数求解中得到:

(10)

(11)

其中:

(12)

2 内插模型抗差性理论分析

2.1 误差影响因子

(13)

式(13)变化可得:

(14)

(15)

误差影响因子e可由内插系数的平方和计算,用于评价内插模型的抗差性。误差影响因子越小,则模型抗差性越好。当误差影响因子e≤1时,结合式(14)、式(15)可得:

(16)

式(16)表示流动站大气延迟内插精度小于等于参考站大气延迟解算精度,没有放大估计误差对内插精度的影响,可认为模型抗差性较好。本文将误差影响因子e≤1作为评价模型抗差性较好的标准。

2.2 误差影响因子几何意义

对于不同内插模型,可推导其误差影响因子的具体表达式。LSC模型、KRG模型误差影响因子的表达式较为复杂,难以用简单的几何意义描述。 因此,本文主要推导LIM模型、DIM模型误差影响因子几何意义,并从理论上分析其空间分布特征。

1) LIM误差影响因子几何意义

将式(4)计算的LIM内插系数α1和α2代入式(15)中,可得LIM模型误差影响因子eLIM:

(17)

式(17)的向量表达形式为:

(18)

式中:Au=(ΔEu,A,ΔNu,A);AB=(ΔEB,A,ΔNB,A);AC=(ΔEC,A,ΔNC,A); ×表示向量的叉乘运算符号。为从几何层面描述eLIM的含义,将向量Au、AB、AC在二维直角坐标系中用有向线段表示,如图1所示。

在二维平面中,向量叉乘的几何意义描述为有向面积,即向量叉乘的模为以这两向量为邻边组成的平行四边形的面积。|AB×AC|表示为图1中所示平行四边形ABA'C的面积,其大小为三角形ABC面积的2倍。同样的,|Au×AC|和|Au×AB|所表示平行四边形面积的大小分别为三角形ACu和三角形ABu面积的2倍。

则式(18)可以表示为

(19)

式中,S、S1、S2分别为三角形ABC、三角形ACu和三角形ABu的面积,如图1所示。

由式(19)结合图1可以看出,LIM模型误差影响因子eLIM的几何意义为流动站u、主参考站A以及参考站(B或C)所构成三角形面积与三角形解算单元面积比的平方和。通常更为关注三角形解算单元内的模型抗差性,即图1所示流动站u在三角形ABC内的情况下的模型误差影响因子的大小,从图中可以看出三角形ACu和三角形ABu的面积之和小于或等于三角形ABC面积,即S、S1、S2满足以下关系式:

S1+S2≤S.

(20)

可以变化为

(21)

结合式(20)、式(21)可以得出eLIM<1,即理论上三角形解算单元内LIM模型误差影响因子eLIM小于1,LIM模型抗差性较好。

2) DIM误差影响因子几何意义

将式(5)计算的DIM内插系数α1和α2代入式(15)中,变化可得DIM模型误差影响因子eDIM:

(22)

式中:duB为参考站B与流动站u之间的距离;duC为参考站C与流动站u之间的距离,如图2所示。

基于DIM模型的原理,结合图2可以看出,DIM模型误差影响因子eDIM的几何意义是流动站u到参考站(B或C)的距离所占比例的平方和。可以得出0.5≤eDIM<1,即理论上DIM模型误差影响因子eDIM小于1,DIM模型抗差性较好。

3 实验分析

基于三角形解算单元探究内插模型的抗差性空间分布特征。以正三角形为例,基线距离为100 km,以解算单元中心坐标为坐标原点建立局域东北天坐标系,LIM、DIM、LSC、KRG误差影响因子变化情况如图3所示。图中标注出三角形解算单元,其中“五角星”表示主参考站位置,“三角形”表示其他两个参考站(下文中简称辅参考站)位置。其他形状三角形实验结果类似,文中不再列出。

从图3(a)可以看出,LIM模型的误差影响因子随流动站与主参考站相对位置的变化而产生较大波动(其值在0～4范围内波动),在主参考站夹角及其反方向变化较慢,即LIM模型抗差性空间分布不均,主参考站夹角及其反方向模型的抗差性优于其它方向。从图3 (b)显示DIM模型误差影响因子变化比较平稳(其值集中在0.5～0.7范围内),即DIM模型抗差性空间分布较为均匀。DIM模型误差影响因子与流动站与主参考站的相对位置无关,而是随流动站与辅参考站相对位置的变化而变化,表现为流动站到两辅参考站的距离相差越大误差影响因子越大。从图3(c),图3(d)可以看出LSC模型和KRG模型误差影响因子变化特征较为相似,误差影响因子与流动站和三角解算单元(主参考站、辅参考站)的相对位置有关。KRG模型误差影响因子空间分布有明显的方向性,在主参考站夹角反方向误差影响因子较小,参考站夹角反方向误差影响因子较大。LCS模型误差影响因子空间变化规律较为复杂,主要呈现为分块特征,主参考站区域误差影响因子较大,参考站区域误差影响因子较小,且误差影响因子随流动站与主参考站、参考站距离的增大而增大。

从图3中可以看出三角形解算内误差影响因子均小于1,即流动站位于三角形解算单元内,四种内插模型抗差性均满足要求。三角形解算单元外误差影响因子的变化范围较大,主参考站夹角反方向误差影响因子较小,即流动站位于三角形解算单元外,主参考站夹角反方向模型抗差性较优。

4 结束语

网络内插模型抗差性随流动站位置变化而呈现空间变化,定量分析模型抗差性的空间特征对选择和优化网络RTK内插模型具有重要意义。本文提出误差影响因子用于评价模型抗差性,在数学推导的基础上,通过实验比较探究不同内插模型抗差性的空间分布特征,得到如下结论:

1) 不同内插模型抗差性空间分布有较大差异,LIM模型抗差性呈现以主参考站为中心的椭圆曲线分布,DIM模型抗差性空间变化比较平稳,LCS模型抗差性空间分布呈现为分块特征,KRG模型抗差性空间分布有明显的方向性。总体而言,LIM模型抗差性空间变化最大,DIM模型抗差性空间分布较为均匀。

2) 流动站位于三角形解算单元内,不同内插模型的抗差性均满足本文抗差性评价要求。

3) 流动站位于三角形解算单元外,模型抗差性与其方向具有密切相关性,主参考站夹角反方向模型抗差性较优。

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