一类具有阶段结构和因病死亡的SIRS传染病模型的稳定性

摘要：利用微分方程的稳定性理论、种群动力学理论及传因病死亡染病模型的研究方法，根据不同程度的感染者有不同的传染率，建立一个具有阶段结构和的传染病模型，得到了模型的阈值参数 ，根据赫尔维茨判别方法，证明了模型平衡点的局部稳定性，通过构造函数，证明了模型平衡点的全局稳定性。

关键词：阶段结构；阈值参数；流行病模型；局部性态；全局性态

0引言

传染病已经是当今世界人类面临的一个共同问题之一，随着科技的进步，经济的繁荣，除了引发环境问题，由之引起的还有传染病问题. 传染病是危及人类身体健康的重要因素之一，长期以来一直受到世界各国的关注.全球经济的一体化促进了人员的频繁交流和接触、全球环境污染日趋恶化等因素加剧了传染病的传播.因此研究传染病的传播过程、内在规律及其如何采取控制措施具有十分重要的意义.

数学建模就是利用所学的数学知识去解决实际问题，文献[1]第三章介绍了通过微分方程建模研究实际问题.同时，研究传染病问题的一种重要方法就是微分方程理论，文献[2]介绍了解微分方程的一些方法。前人的传染病模型很少在考虑不同传染程度的不同传染率的同时考虑因病死亡率，文献[2]研究阶段结构的传染病模型，分析平衡点的稳定性以及模型的全局稳定性；文献[3]研究了SIS模型的全局稳定性.文献[4]是运用特征方程及辅助系统证明了无病平衡点的全局稳定性.文献[5-7]研究了阶段结构的模型，但文献[5-9]都没有将不同感染程度的问题考虑进去。本文中，分为轻度传染病患者与重度传染病者两个不同阶段，并以双线性传染率为前提，建立了有阶段结构和因病死亡的SIRS传染病模型，具体模型如下：

表示易感患者数量； 表示轻度感染患者数量； 表示重度感染患者数量； 表示免疫人数的数量； 是单位时间内种群输入率并假设均为易感者； 表示因病的死亡率； 表示自然死亡率； 表示自然死亡率和因病死亡率之和； 表示輕度感染者传染率； 表示重度感染者传染率； 表示最终治愈率； 表示由轻度到重度的转化率； 表示轻度感染者的恢复率； 表示重度感染者的恢复率；其中，各项系数均为正常数。

1 模型平衡点局部稳定性分析

令 ，由方程组

得：无病平衡点 ；地方病平衡点 其中：

， ，

，

定理1 如果 ，则系统（1）存在无病平衡点 ，是局部渐近稳定的.

证明 系统（1）的雅克比行列式为

由（3）得：无病平衡点 处的特征方程为：

的特征根

设 的解 ， 则有

解之， 的实部为负。

所以，当 时，系统的无病平衡点 是局部渐近且稳定的。

定理2 如果 时，则系统（1）存在唯一的地方病平衡点 是局部渐近稳定的。

证明 在 处系统（1）的线性近似系统为：

则，系统（4）的雅克比行列式为可得，平衡点 处系统的特征方程为：

根据 的值得

由于 ，由赫尔维茨判别方法，本方程特征方程的根实部均为负，我们可以得到，在平衡点 处是局部稳定的。因此，当 ，时，系统的地方病平衡点 是局部渐进且稳定的。

2 模型平衡点全局稳定性分析

定理3 如果 ，系统（1）在无病平衡点 处是全局渐进稳定的.

证明：构造函数：

因此， 时，则系统（1）存在唯一的地方病平衡点 是局部渐近稳定的.

定理4 如果 ，且 时，系统（1）存在唯一的地方病平衡点 且全局渐进稳定.

证明 构造函数

则由此，无病平衡点 是全局渐近稳定的.

3 结语

本文研究了一类具有阶段结构和因病死亡的SIRS传染病模型，具有因病死亡率、自然死亡率，以及因病死亡率和自然死亡率之和，证明了 时，系统（1）的无病平衡点 是局部渐进稳定的； 时，则地方病平衡点 是局部稳定的，疾病消亡.在此基础上，通过构造 函数，进一步得到系统（1）的全局稳定性，如果 ，且 时，系统（1）无病平衡点 不是全局渐进稳定的；如果 ，且 时，系统（1）存在唯一的地方病平衡点 且全局渐进稳定.

参考文献：

[1]王连堂.《数学建模》[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.

[2]王高雄，周之铭等.《常微分方程》[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]辛京奇，王文娟.一类具有阶段结构和接种的SIR传染病模型[J].运城学院学报.，2009，39（12）：103-108.

[4]张美明，张凤琴.一类具有人口流动的SIR传染病模型[J].北华大学学报，2011，12（2）：154-157.

[5]金瑜，张勇，王稳地.一类具有阶段结构的传染病模型[J].西南师范大学学报，2003，28（6）：863-868.

[6]原存德，胡宝安.具有阶段结构的SI传染病模型[J].应用数学学报，2002，25（2）：193-203.

[7]邱志鹏.具有阶段结构和非线性接触率的SI传染病模型的渐进性态[J].生物数学学报，2004，19（2）：156-160.

[8]Xiao Yanni ， Chen Lansun. An SIS epidemic model with stage structure and a delay [J].应用数学学报（英），2002，18（4）：607-618.

基金项目：陕西省教育厅专项科学研究计划项目：“一带一路”背景下地方高校中外合作办学新模式探索——以渭南师范学院为例（17JK0259）； 渭南师范学院教育科学国际合作项目：基于数学模型的中外合作办学评价体系研究（17GJHZ17）；渭南师范学院人文社科项目：地方高校中外合作办学模式研究——以渭南师范学院为例（16SYB15）。

作者简介：张菊梅（1982—），女，陕西宝鸡，渭南师范学院，讲师，理学硕士，主要从事科学计算与研究。研究方向：计算数学（科学计算与信息处理）。