利用笛沙格定理求解初等几何中的动态问题

胡翔

摘要：笛沙格定理是射影平面上的重要定理.本文抓住笛沙格定理的精髓——两个对应三点形，可轻易解决初等几何中的动态问题中

关键词：笛沙格定理；动态问题；三点形

1、引言

十七世纪，当笛卡儿和费马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就已经引起一些学者的兴趣，它的快速发展得助于欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，这门几何学就是射影几何学。数学家笛沙格为这门学科建立而做出了重要贡献，使射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支.笛沙格定理作为射影几何四大定理之一，不仅是平面射影几何的基础之一，而且以它为根据可以推出一系列射影几何命题.利用它还可以解决初等几何中的动态问题.

2、基本概念

定义1[1]平面内不共线的三个点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形；平面内不共点的三条直线与其每两条直线的交点所组成的图形叫做三线性.

定义2[2]在射影平面里设有点，直线及其相互结合和顺序关系所组成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各作图改为它的对偶作图，其结果形成另一个命题，这两个命题叫对偶命题.

定理1（笛沙格定理）[3]如果兩个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点必在同一条直线上.

定理2（笛沙格逆定理）[3]如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线交于一点.

笛沙格定理与其逆定理是对偶命题，由对偶原则知，笛沙格定理成立，则其逆定理也成立，这为笛沙格逆定理的证明起到了事半功倍之效.显然它的真确性是毋庸置疑的，这是对偶原理的功劳！更有趣的是，笛沙格的对偶命题，不仅是笛沙格的逆定理，而且是笛沙格的对偶命题，还是笛沙格的自对偶命题（对偶命题与原命题一致）。这四者的有机统一，无不说明数学的魅力所在。

3、利用笛沙格定理求解动态问题

初等几何中的动态问题是指在一条直线上有一点是动点，也可以是通过一定点任意作直线，然后根据题中的其它已知条件，利用笛沙格定理可以解决此类问题.

例1：设 为共面四条相异的直线， 为 上的两个定点， 为 上的一个动点，又 分别交 ， 于 求证 交 .

证明：在直线 上任取两个点 然后 分别交 于 ， 分别交 于 作图1，即证 三条直线共点.从而，将此动态问题转化为三线共点问题.选取三点形 和 ，其两个三点形的对应顶点显然交于一点 ，由笛沙格定理可知，三点形 和 的对应边的交点 共线.即 三直线共点 .证毕.

这道题看似好像十分复杂，画完图后发现并不是所想象的那么难，其中两个动态点 并不影响点 ，而且三条直线 确定唯一的一点 .

例2：设有两条直线 与 以及三个共线点 过 作直线分别与 交于 又 与 交于 ，试证明：点 的轨迹是过 与 交点的一条直线.

证明：过点 任作两直线 连接 交于点 ，再连接 交于点 ，如图2.考察三点形 和 ，其对应顶点 交于一点 ，由笛沙格定理知，其对应边交点

三点共线，即点 的轨迹是过 与 交点的一直线.显然点 轨迹是唯一的直线 证毕.

此外，这题也可以选取三点形 和 ，根据笛沙格逆定理即证.

4、结束语

在利用笛沙格定理或逆定理证明三线共点或三点共线问题时，关键是准确地找到两个对应三点形，而且要调整好对应顶点的顺序.以便达到证明的目的.共线问题和共点问题一般可以转化.在都适用时，一般共线问题用笛沙格定理，共点问题用笛沙格逆定理.当然，我们也要具体问题具体分析.此外，笛沙格定理在初等几何中的应用非常简单易懂实用，可以化简初等几何中繁琐的步骤，为几何的证明开辟了一条快捷之路.

参考文献：

[1]梅向明，刘增贤，王汇淳，等.高等几何[M].北京，高等教育出版社， 2000：1-43.

[2]陈圣德.笛沙格定理的几种证法及其应用[J].中学数学，1981（1）：14-17.

[3]周兴和.高等几何[M].北京：科学出版社，2007：53-60.

[4]郭李芢.几何画板轨迹功能在三维曲面绘制中的应用[J].钦州学院学报， 2008， 23（6）：5-9.