从微积分教学中体会读书薄与厚的辩证过程

陶印修 赵红

【摘要】从微积分教学的角度体会读书的辩证过程。先从函数谈简单与复杂的辩证过程，再从微分学谈简单与复杂的辩证过程，最后从积分学谈简单与复杂的辩证过程。无论简单与复杂，都与五种基本初等函数密切相关，说明五种基本初等函数在微积分中起至关重要作用，抓住此线就能达到让同学在简单、轻松、愉悦中学好微积分。

【关键词】由简单到复杂 由复杂到简单 五种基本初等函数 辩证过程

一、简单函数与复杂函数的辩证过程

1.简单函数

简单函数：常数和五种基本初等函数是简单函数，以及由常数和五种基本初等函数经过有限次的四则运算所得到的函数也是简单函数。

简单函数的抽象化：y=f（u）（u是中间变量）和u=φ（x）皆是简单函数。简单函数y=f（u）的具体化：y=f（u）是u的五种基本初等函数之一。

例1 y=f（u）= 是u的五种基本初等函数之一的幂函数，其为简单函数；而=1u=φ（x）=1-x₂也是简单函数。

2.由简单函数到复杂函数

由y=f（u）和u=φ（x）复合成y=f[φ（x）]就是由简单函数到复合（复杂）函数。当y=f（u）是u的五种基本初等函数之一时，对应的复合函数y=f[φ（x）]就是该基本初等函数型。

例2设y=f（u）= ，u=φ（x）=1-x₂，求其构成的复合函数y=f[φ（x）]。

复合函数y=f[φ（x）]通常就是五种基本初等函数型。

3.由复杂函数到简单函数

把y=f[φ（x）]分解为y=f（u）和u=φ（x）就是由复杂函数到简单函数。

例3把复合函数y=e_x/x+1分解为简单函数。

解y=e_x/x+1是指数函数型，分解为y=e_u，u=x/x+1。

二、簡单微分学与复杂微分学的辩证过程

1.简单微分学

能够利用导数（或微分）基本公式，求导（或微分）的四则运算法则的求导（或求微分）的题皆是简单微分学。

导数（或微分）基本公式就是关于常数和五种基本初等函数的导数（或微分）基本公式。

求导（或微分）的四则运算法则就是关于加减乘除的求导（或求微分）的四则运算法则。

例4已知f（x）=x₃3+4cosx+sinπ/2，求f'（x）。

解f'（x）=3x₂-4sinx。

2.由简单微分学到复杂微分学

用五种基本初等函数的微分学解决五种基本初等函数型的微分学就是由简单微分学到复杂微分学。

把导数基本公式抽象才来写就是：df（u）/du=f'（u），其中既可以是中间变量，也可以是白变量（导数用微商表示更能体现对哪个变量求导）。

例5幂函数的导数基本公式为du_a/du=au_a-1。

把微分基本公式抽象出来写就是：df（u）=f'（u）du，其中既可以是中间变量，也可以是白变量。此式也是复合函数微分法则。

三角正弦的微分基本公式为d sin u=cos udu。

3.由复杂微分学到简单微分学

把y=f[φ（x）]的微分学运算归结为y=f（u）和u=φ（x）的微分学运算就是由复杂微分学到简单微分学。

复合函数求导法则就是复合函数求导归结为两个简单函数导数的乘积。

三、简单积分学与复杂积分学的辩证过程

1.简单积分学

能够利用积分（微分的逆运算）基本公式（原函数除去常数外，其余皆是五种基本初等函数之一），积分的运算性质（只有两个运算性质，即关于和差与常数倍的运算）解决的积分题皆是简单积分学。

2.由简单积分学到复杂积分学

用原函数为五种基本初等函数的积分学解决原函数为五种基本初等函数型的积分学就是由简单积分学到复杂积分学。 把积分基本公式深化出来写就是：∫f'（u）du=f（u）+C，其中u既可以是中间变量，也可以是自变量。

当u是白变量时，上式就是积分基本公式；

当u是中间变量时，上式就可以引申出第一换元积分法。

例8原函数反正切函数的积分基本公式为∫1/1+u₂du=arctanu+C。

3.由复杂积分学到简单积分学

把原函数为五种基本初等函数型的积分学运算（第一换元积分法）归结为原函数为五种基本初等函数的积分学运算就是由复杂积分学到简单积分学。

解第一换元积分法的题，凑微分φ'（x）dx=du（即求微分du=φ'（x）dx的逆运算，亦即左等于右、右等于左的问题）起至关重要的作用，其中u=φ（x）为线性函数或为五种基本初等函数之一，凑微分通常就是上述六种类型。

解第一换元积分法的题有两种解法

解法一（体现换元，此解法初学者易接受）令u=φ（x），则φ（x）dx=du，∫f'[φ（x）]φ'（x）dx=∫f'（u）du=f（u）+C=f[φ（x）]+C。

解法二（体现凑微分，此解法常用）∫f'[φ[x）]φ'（x）dx=∫f'[φ（x）]dφ（x）=f[φ（x）]+C。