平行四边形在梯形中的最大论述

◎何华芳

经人民教育出版社授权，经贵州省中小学教材审定委员会审查通过，配人教版新编五年级《数学》教科书以及《家庭作业》上册第60页，培优提升第6题。在下面的梯形中，剪去一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是多少？有几种剪法？

平行四边形面积：20×25=500㎝2，我们先把上面的问题放一放，对小学数学中的几个几何图形进行深入的了解，对前面这个问题有帮助的。

在小学数学中，有三条线段围成的封闭图形叫三角形。有四条线段围成的封闭图形叫四边形。在四边形中，四个角都是直角，四条边都相等的图形叫正方形。四个角都是直角，两组对边相等的图形叫长方形。两组对边平行的四边形叫平行四边形。一组对边平行的四边形叫梯形。根据这些图形的特点，我们可以归纳为：三角形具有稳定性。在实际生活运用广泛。正方形、长方形具有特殊性，平行四边形的变易性，由四根木条钉制成的平行四边形，它的大小，，我们可以从0拉到最大为长方形（或正方形）。梯形在它们当中属于不规则性。

如果我们在一个长方形中剪去一个最大的正方形，我们以长方形的宽为边长所剪去的正方形为最大正方形，这是由正方形和长方形的特殊性决定的。

我们用同样的理念和方法在梯形中剪去一个最大的平行四边形，就是以梯形的短边为平行四边形的底，所剪去的平行四边形的最大（两种剪法）。平行四边形具有易变性，梯形具有不规则性，这种方法会不会有误差呢？

如果我们用长方形中剪去一个最大的正方形的方法，在梯形中剪去一个最大的平行四边形，短边为0，显然这个方法是不对的。

在梯形中剪去最大平行四边形。由于平行四边形的易变性和梯形的不规则性，常见的两种剪法，是否正确？我们进行进一步的研究。

我们把五年级上册数学《家庭作业》第60页培优提升第6题来研究。我们首先把题中的梯形ABCD延伸使它成为稳定梯形ABE（图二）。

若新的梯形CDE的高为h，那么梯形ABE的高为25+h。根据相似三角形的有关定律得，求得h=15.625㎝，那么梯形ABE的高是15.625+25=40.625㎝。在梯形ABE中取中位线FG，FG=26㎝（图三）

那么以梯形ABE的中位线为平行四边形剪去一个平行四边形AHGF。平行四边形AHGF的高为40.625÷2=20.3125㎝。平行四边形AHGF的面积：26×20.3125=528.125㎝2，同样可以剪去平行四边形HBGF。梯形ABFG在梯形ABCD中，以CD为平行四边形的底边剪去的平行四边形不算大。

由于平行四边形的易变性和梯形的不规则性，以梯形的短底为平行四边形的底所剪去的平行四边形（两种情况）为最大平行四边形是否存在？

我们对图三进行深入的研究，不难发现，在图中剪去最大的平行四边形，应该在稳定梯形ABE的中位线FG处为平行四边形的底所剪去的平行四边形为最大（当然，如果是在梯形AEB中就不只是两种情况，那是四种情况）。随着中位线的两侧为底剪下的平行四边形越离中位线距离越远，平行四边形越小，最后为零。

在这个时候，在中位线的一侧，也就是梯形长底边的形成为最大（两种情况）是正确的。

我们研究平行四边形在梯形中最大，运用了中学知识，在小学教学中如何把握这部分知识，根据上面是阐述，总结为：梯形的短底的2倍小于或等于梯形的长底。那么以梯形的长底的一半为平行四边形的底剪去的平行四边形为最大。梯形的短底的2倍大于梯形的长底，那么以梯形的短底为平行四边形的底剪去的平行四边形为最大。