固体氧化物燃料电池建模及广义预测控制

李 肖，李俊红，沈文兵，宗天成

(南通大学电气工程学院，江苏 南通 226019)

为使固体氧化物燃料电池(SOFC)可靠、稳定和高效地工作，需要确定系统的动态输入-输出特性[1]。谭勋琼等[2]基于内部气体流量的动态守恒方程，推导在假设条件下各种气体分压和电流的函数关系，进而构建SOFC的集总模型。阙加雄等[3]基于SOFC内部的3种动力学过程，综合考虑内部的质量平衡、能量平衡和电化学反应过程，建立动态模型。SOFC的内部反应复杂，且模型具有随机干扰、非线性等特点，因此建立的模型都很复杂，难以用于控制系统的分析和设计[4]。系统辨识方法是利用系统的输入-输出数据来确定系统的数学模型，更适用于工程应用[5]。

广义预测控制算法采用反馈校正和滚动优化策略，具有较强的鲁棒性，适用于复杂的工业过程控制[6]。本文作者通过SIMULINK搭建燃料电池的机理模型，分析并获得模型的输入-输出数据，再辨识SOFC的数学模型，避开电池的复杂反应过程来建模，并进行广义预测控制算法的设计。

1 SOFC机理建模

燃料电池模型电压包括4种电压：开环电压(En)、活化极化损失电压(Ua)、浓度损失电压(Uc)和欧姆损耗电压(Uo)。SOFC工作电压(Ud)按式(1)计算：

Ud=En-Ua-Uc-Uo

(1)

本文作者使用MATLAB/SIMULINK软件实现SOFC机理模型的实现，设计的基于SIMULINK的SOFC模型见图1。

图1中：Goto模块用于保存端口的输出；From模块用于将保存的端口输出送入指定模块；Jfc是电流密度；qf是获取的电流数据；T、T1、T2和T3均是工作温度，取值为973 K；NH1是内阻，取值为0.126 Ω；NH2是输入流速，取值为51 ml/s。

2 SOFC电池的模型辨识

系统辨识是根据动态系统的输入-输出数据构造数学模型的过程[5]。在理论建模太复杂的时候，经常采用系统辨识的方法。为满足控制系统设计的需要，利用MATLAB中的系统辨识工具箱，辨识SOFC的输出电压响应模型，从而可避开SOFC内部复杂的反应机理。

将系统的输入-输出数据导入系统辨识工具箱，经过对各种模型结构辨识结果的分析与对比，最终选择具有外部输入的自回归滑动平均(ARMAX)模型作为SOFC的模型结构。通过系统辨识工具箱辨识出的系统具体参数为：

A(q-1)=1-1.22q-1+0.22q-2

(2)

B(q-1)=0.99

(3)

C(q-1)=1+0.927q-1

(4)

式(2)-(4)中：q-1为时延因子；A(q-1)、B(q-1)和C(q-1)均是q-1的多项式，为系统参数。

3 SOFC的控制设计

3.1 广义预测控制算法简介

广义预测控制(GPC)算法结合了多种算法的优点[6]，如果能加以应用，可提高SOFC系统的控制效果。

3.2 预测模型

GPC采用式(5)作为系统的预测模型

A(q-1)y(k)=B(q-1)u(k)+C(q-1)ξ(k)/δ

(5)

式(5)中：δ为差分算子，δ=1-q-1；k表示采样时刻序列；y(k)、u(k)是系统的输出、输入；ξ(k)是均值为零的白噪声序列。

为了进行柔化控制，控制的目标是跟踪如式(6)所示的参考轨线。

w(k+j)=ajy(k)+(1-aj)yr(j=1，2，…，n)

(6)

式(6)中：j为预测长度；w(k+j)为系统的超前j步参考轨线；y(k)和yr分别为输出值和设定值；α为柔化系数，0<α<1。

根据预测控制理论，引入Diophantine方程可得到：

(7)

(8)

(9)

ΔU=[Δu(k)，Δu(k+1)，…，Δu(k+n-1)]T

(10)

f=[f(k+1)，f(k+2)，…，f(k+n)]T

(11)

3.3 最优控制律

若令W=[w(k+1),w(k+2)，…，w(k+n)]T，则目标函数J可写成：

J=(Y-W)T(Y-W)+λΔUTΔU

(12)

式(12)中：Y是输出矩阵。

ΔU=(GTG+λI)-1GT(W-f)

(13)

如式(13)所示，在控制量加权系数λ和柔化后的设定值向量W均已知的情况下，若求ΔU必须先知道G和f。由式(7)可得：

y(k+n)=gn-1Δu(k)+…+g0Δu(k+n-1)

+f(k+n)+Enξ(k+n)

(14)

令X(k)=[Δu(k)，Δu(k+1)，…，Δu(k+n-1)，1]，θ(k)=[gn-1,gn-2,…,g0,f(k+n)]T，输出预测值可写成：

y(k+n/k)=X(k)θ(k)

(15)

式(15)中：X(k)为信息向量；θ(k)为待估计参数向量。

θ(k)可用最小二乘法估计得到：

(16)

(17)

(18)

预测向量f可由式(19)得出：

(19)

在求得G和f后，可计算控制量ΔU的值，从而计算预测输出值。

3.4 比例积分微分控制算法

比例积分微分(PID)控制器是发展最早的控制方法之一，涉及的算法设计和结构都很简单，且适用于工程应用。目前，PID控制凭借简单易懂、适应性强等优势，仍然在实际生产中获得广泛应用。PID控制器根据给定值与实际输出值构成控制偏差e(t)，偏差e(t)与控制量u(t)的关系为：

(20)

式(20)中：Kp为比例系数；Ti为积分时间常数；Td为微分时间常数。

3.5 仿真研究与分析

在对SOFC建模时，选择ARMAX模型为最终辨识结果，参数可由系统辨识工具箱获得。ARMAX模型的形式为：

A(q-1)y(t)=B(q-1)u(t)+C(q-1)e(t)

(21)

将式(2)、(3)和(4)辨识出的参数A(q-1)、B(q-1)和C(q-1)代入ARMAX模型的一般形式，整理得到：

y(t)=1.22y(t-1)-0.22y(t-2)+0.99u(t)

+e(t)+0.927e(t-1)

(22)

辨识出的模型采用广义预测控制算法，通过控制氧气的流量，研究在外部负载(电流)突然增大或减小时，电池输出电压的跟踪性能。选取设计参数：模型长度p=6，预测时域长度n=6，控制时域长度m=2，控制加权系数λ=0.7，柔化系数α=0.5；最小二乘法参数初始值为：gn-1=1，f(k+n)=1，其余为0，广义预测控制效果如图2(a)所示；针对SOFC模型，设计PID控制器，控制效果见图2(b)。

从图2可知，当系统的设定值发生变化时，两种算法经过一段时间调节之后，均能达到稳定值，但广义预测控制算法的调节时间更短，大约为12 s，最大超调量大约为7%，而在PID控制算法下，输出曲线经过约31 s达到稳定值，最大超调量大约为11%，因此广义预测控制算法跟踪给定值的控制效果较好，超调量更小，系统的响应速度更快。与PID控制相比，广义预测控制算法具有更好的跟踪性能。

4 总结

本文作者分析了SOFC的反应机理，建立了SOFC的物理模型，从而获得电池模型的输入-输出数据。根据这些数据，再用MATLAB中的系统辨识工具箱辨识SOFC的ARMAX模型。利用系统辨识避开了电池内部复杂的反应机理，使用价值很高。根据辨识得到的ARMAX模型设计广义预测控制算法，并与经典的PID控制对比。结果表明：当电池的负载发生扰动时，广义预测控制算法具有更好的跟踪效果。