《数学分析》中的形象思维和严格推导

朱朗峰

摘 要 《数学分析》是现代数学的基础理论之一。在《数学分析》的教学中，培养学生的形象思维能力和严格推导能力是非常重要的两个方面。本文通过一些典型的例子，讨论了形象思维和严格推导在《数学分析》的教学中的重要作用以及这两者之间的紧密关系。

关键词 数学分析 形象思维 严格推导

中图分类号：O171 文献标识码：A

0引言

《数学分析》作为大学数学的一门基础课程，面向对象是所有数学专业一年级和二年级的学生。开设这门课程的目的在于提高这些学生的数学基础水平，帮助他们实现由中学数学到大学数学的跨越，为他们进一步深入学习或研究现代数学理论奠定基础。大学一二年级的学生只有先学好了《数学分析》等基础课程，才能学好大学高年级的分析课程，比如《实变函数》，《复变函数》，《泛函分析》，《数学物理方程》等。更进一步地，对有志于在数学学科继续学习深造的学生来说，应该对《数学分析》等基础课程有更透彻的理解和掌握。正是由于《数学分析》这门课程在大学数学教学中有着如此重要的地位，所以任课教师在给学生讲解这门课程时，仅仅将知识内容讲清楚是不够的，更为重要的是，还要培养并提高学生思考问题的能力，尤其是形象思维能力和严格推导能力。本文根据作者的教学经验，并结合一些教材以及文献资料中的典型例子，来谈谈在《数学分析》这门课程的教学中，形象思维和严格推导这两个方面的重要作用以及它们之间的关系。

1形象思维有助于理解和记忆数学知识

《数学分析》这门课程中有大量的公式、定理和理论推导，初学者容易感觉这门课程比较复杂和枯燥。所以任课教师在教学上应增加数学的趣味，将看似枯燥复杂的内容与有趣简单的知识联系起来。任课教师可以通过恰当的运用形象思维的方法给学生以几何直观，便于他们理解和记忆这些内容。

例如，在《数学分析》教材中在讲到数项级数收敛的Abel判别法和Dirichlet判别法时，会用到如下的公式。

分部求和公式：设uk， mk （k = 1， 2， ···， n）为两组实数，若令

Mk = m1 + m2 + … + mk （k = 1， 2， …， n），

则有如下分部求和公式成立：

u1m1 + u2m2 +… + unn-1mn-1 + unmn

= （u1 u2）M1 + （u2 u3）M2 + … + （un-1 un）Mn-1 + unMn.

对于分部求和公式的证明，我们可以用

m1 = M1， mk = Mk Mk-1 （k = 2， 3，…， n）

代入公式左边，通过计算推出等于公式右边。如果任课教师只讲到这里就不再继续解释，学生可能会认为这个公式需要死记硬背才能记住，这就没达到较好的教学效果。事实上，认真观察后不难发现，这个公式可以通过形象思维的方法来做进一步解释。下面以n = 4为例来谈谈形象思维的方法。

不妨假定uk， mk均为正数且uk是严格递减的。在直角坐标系中画出图1。不难发现，分部求和公式的左边等于图1中分别以u1， u2， u3， u4为高，M1， M2 M1， M3 M2， M4 M3为底的四个矩形面积之和，从而等于图1中整个图形的面积，这是一种沿x轴做分割然后再求和的方式。我们可以再考虑另一种求和方式，即沿y轴做分割然后再求和来计算图1中整个图形的面积。不难发现，这样计算出的面积等于分别以u1 u2， u2 u3， u3 u4， u4为高，M1， M2， M3， M4为底的四个矩形面积之和，正好等于分部求和公式的右边，从而在一定程度上验证了分部求和公式。做了这样的几何直观上的解释后，分部求和公式就变得比较有趣和自然，从而便于理解和记忆。

图1

通过形象思维来帮助理解记忆公式定理的例子还有很多，下面我们再举一个例子。

在《数学分析》教材中有如下关于闭区间上连续函数性质的定理。

零点定理：如果实值函数f在闭区间[a， b]上连续，且f（a）与f（b）异号，那么在开区间（a， b）内至少有一点c使得f（c） = 0。

因f（a）与f（b）异号，不妨假定f（a） > 0， f（b） < 0。如图2所示，函数f在直角坐标系下的图像可以看成是连接（a， f（a））与（b， f（b））两点的连续曲线（当然，此曲线还要满足与任意平行于y轴的直线至多只有一个交点）。零点定理的含义可以通过形象思维的方式大致理解為：如果（a， f（a））与（b， f（b））这两点被x轴隔开，那么任意连接这两点的连续曲线不可避免地要与x轴相交。

图2

2形象思维可以对严格推导起到启发作用

我们通过举例来说明这一点。

在《数学分析》教材中有如下判定正项级数收敛或者发散的方法。

积分判别法：设实值函数f为区间[1， +∞）上非负减函数，那么正项级数f（n）与反常积分f（x）dx同时收敛或者同时发散。

任课教师在讲解这个判别法的严格证明之前，可以先大致画出f的图像，引导学生通过形象思维的方式来分析一下这个判别法。如图3所示， f的单调递减的假定使得f的图像在闭区间[n，n+1]围成的图形覆盖了以闭区间[n，n+1]为底以f（n+1）为高的矩形，且被以闭区间[n，n+1]为底以f（n）为高的矩形覆盖。根据积分的几何意义，反常积分f（x）dx等于由f的图像、直线x = 1和x轴所围成的图形的面积（我们把这个面积简记为S）。从图像上可以比较容易看出，S应该小于或等于以闭区间[n， n+1]为底以f（n）为高的矩形的面积对正整数n求和，并且S应该大于或等于以闭区间[n， n+1]为底以f（n+1）为高的矩形的面积对正整数n求和。从而我们可以大致判断出正项级数f（n）和反常积分f（x）dx是同时收敛的或者同时发散的。

图3

通过上面所讲的图像上的观察分析，我们可以相应地写下如下严格的数学证明：

对任意的正整数k，定义Sk=f（x）dx且定义Tk=f（n）因为f为非负函数，所以数列Sk和Tk均是非负递增数列。再由反常积分收敛和无穷级数收敛的定义以及数列的单调有界定理可知：反常积分f（x）dx收敛等价于数列Sk有界，正项级数f（n）收敛等价于数列Tk有界。又因为f为减函数，所以对任意正整数n有

f（x）dxf（n+1）dx=f（n+1），

f（x）dx≤f（n）dx=f（n）。

由上面两个不等式对n = 1， 2， …， k求和可得，对任意的正整数k有

Tk+1f（1）≤Sk≤Tk

所以数列Sk与Tk同时有界或同时无界，从而严格证明了积分判别法。

上述严格推导正是通过观察图像受到启发而得到的，是形象思维的严格数学化。

3严格推导往往用于正面论证，形象思维往往用于思考反例

我们来看下面的例子。在《数学分析》教材中有如下函数列一致收敛时的性质定理。

连续性定理：若区间I上的连续函数列{fn}（n为正整数）在区间I上一致收敛，则其极限函数f在I上也连续。

我们先来看看这个定理是如何通过严格推导的方式进行论证的。它的证明可以用反证法，推导如下：

假设这个定理不正确，即区间I上存在一点x0使得极限函数f在x0点不连续。那么存在正数C以及区间I中的数列{xk}（k为正整数）以x0为极限，使得对任意正整数k均有

| f（xk） f（x0） | > 3C.

由于{fn}在区间I上一致收敛于f，从而存在正整数m使得对任意正整数k均有

| fm（xk） f（xk） | < C

并且有

| fm（x0） f（x0） | < C.

由上述三个不等式可推知，对任意的正整数k均有

| fm（xk） fm（x0） | > C.

由于当k趋于+∞时xk收敛于x0，故上式与函数fm在区间I上连续矛盾，从而假设不成立，定理得证。

上述严格推导非常简洁而且切中要害，给出了定理的证明。任课教师在讲解证明时需要讲清定理中的条件用在哪里，比如，函数列的一致收敛性用于论证第二个和第三个不等式，函数列的连续性用于说明第四个不等式不成立。除了讲清楚定理证明之外，任课教师还应该让学生积极去思考定理中的条件是否是必需的。例如，可以让学生思考这么一个问题：将上述连续性定理中的“一致收敛”改为“收敛”后得到的命题是否成立？

我们可以通过形象思维构造收敛但不一致收敛的例子来思考这个问题，详情如下：

函数列{fn}在区间I上一致收敛于f的几何意义是当正整数n充分大时，fn的图像在f的图像上下平移充分小的范围内。那么可以通过如下方式选取{fn}和区间I，使得{fn}在区间I上并不一致收敛于其极限函数。可以令I = [0， 1]，定义fn（x） = nx + 1于区间[0， 1/n]且定义fn（x） = 0于区间（1/n， 1]上（fn的图像如图4所示）。显然{fn}是区间I上的连续函数列，且在x = 0处收敛于1，在区间（0， 1]上收敛于0，从而{fn}在区间I上收敛于一个不连续的函数f（定义f（0） = 1且定义f（x） = 0于区间（0， 1]）。由图4不难看出，fn的函数值在x非常靠近0时非常接近1，从而不论n多么大，fn的图像不可能在f的图像上下平移充分小的范围内，这说明fn并非在区间I上一致收敛于f. 极限函数f的不连续性说明，将上述连续性定理中的“一致收敛”改为“收敛”后得到的命题并不成立。

从以上讨论可以看出，对于有些问题的处理，可以比较容易地通过形象思维的方式构造出反面的例子，从而可以加深学生对正面的结论的理解。

图4

4严格推导在《数学分析》的教学和研究中起最根本的作用

从前面几节对形象思维以及严格推导的讨论中可以看出，在《數学分析》这门学科的教学和研究中，虽然形象思维提供了一些直观理解，发挥了一些巧妙作用，但是从根本上来讲，形象思维的作用是一种辅助性的，严格推导的作用才是最为根本重要的。数学理论是建立在严格推导的基础之上的，我们只有进行严格的数学推导，才能拥有步步为营的扎实基础，这样才能学得深、走得远。在本节中，我们再通过一个著名的例子来强调严格推导在《数学分析》这门学科中的重要性。

我们来看这样一个问题：是否存在一个定义在实数轴上的处处连续但处处不可导的实值函数？

这个问题若通过画函数图像来判断的话，往往会认为答案是不存在。在研究和发展《数学分析》的理论的历史上，曾经有许多数学家认为除了少数点外，一个定义在实数轴上的连续实值函数的图像在大多数点处都应该有切线（从而这个函数在大多数点可导）。实际上，这种基于图像直观的形象思维的判断是不正确的。在1872年，数学家Weierstrass构造了一个定义在实数轴上的实值函数，并证明了这个函数处处连续但处处不可导。他构造的函数是

f（x）=ancos（bn x），

其中假定b为奇数且

01+

在1916年，数学家Hardy改进了这个例子中对a与b的限制条件，只需要假定

0

即可，其中不需要b是整数。这个例子很好地说明了形象思维的局限性以及严格推导的重要性。对这个例子的严格推导证明有兴趣的读者可以读读参考文献[4]。

5结束语

综上所述，形象思维和严格推导在《数学分析》的教学中都有着重要作用并且在一定程度上是紧密相连的。形象思维具有简洁性、启发性和辅助性，在《数学分析》的教学中不可忽视，而严格推导具有系统性、严密性和深入性，在《数学分析》的教学中起最根本的作用。因此，任课教师在教学中一方面要注重培养学生的严格推导能力，另一方面要让学生学会运用形象思维来辅助严格推导，从而才能达到较好的教学效果。

参考文献

[1] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出社，2004.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] Hardy，G.H.Weierstrasss non-differentiable function [J]. Transactions of the American Mathematical Society， 1916， 17（03）： 301-325.