基于数学核心素养培养的课堂教学实施——以“二次函数的最值问题”教学设计为例

江苏省常州外国语学校 宋子君

六大数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析。发展学生的核心素养既需要宏观的顶层设计描绘蓝图，也需要微观的课堂教学使之落地推进，抓好课堂教学也就把握住了培养学生核心素养的关键。教师若不能精心设计教学环节，打造优质高效的课堂教学，就难以发挥发展学生核心素养的功能。本文以“二次函数的最值问题”的教学设计为例，谈谈如何在数学课堂教学中培养数学核心素养。

二次函数的最值问题不仅与实际应用、图形性质、图形变化等知识有关，具有一定的学科综合性，而且蕴含了分类讨论、数形结合、数学建模等诸多数学思想。所以教师需要带领学生研究具有代表性的二次函数最值问题，以期提高其解决二次函数最值问题的能力，培养符号感、几何直观、推理能力和模型思想。

一、在确定范围内的二次函数最值问题

给定自变量范围，求二次函数的最值是常见的基础题型，这类问题的考查方式有两种：1.顶点横坐标在自变量范围内；2.顶点横坐标不在自变量范围内。因此设计了如下问题：

问题一：在二次函数y=x2-2x-3中，

【设计意图】 通过上述问题，学生认识到判断二次函数顶点横坐标是否在自变量范围内是处理问题的关键，理解掌握了解决这类问题的知识技能，也体会了借助直观、形象的函数图象处理此类问题的便捷性，体现了数形结合的数学思想在函数问题中的重要作用。核心素养是基于基础知识、基本技能的习得而逐步形成的，并且常常体现在运用基础知识、基本技能解决问题的过程中，而这个过程又往往蕴含着数学思想，受数学思想指引。

二、含参数的二次函数的最值问题

这类问题又分为定自变量范围、对称轴不定和对称轴确定、自变量范围不定两类问题，出于对课堂时间和这两类问题处理方法的相似性的考虑，课堂上研究其中一类问题，另一类问题留给学生课后研究。

问题二：当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值3，求实数m的值。

【设计意图】 学生的数学核心素养基于数学基础知识、基本技能，又高于基础知识、基本技能。数学核心素养是学生在学习数学的过程中逐步形成的思维品质和关键能力。在解决数学问题时，不仅需要学生理解掌握基础知识、基本技能，还需要学生运用不同的思想方法、技能技巧。比如在上述问题的解决中，学生需要运用分类讨论的思想方法明晰顶点横坐标和自变量范围的关系，找到解决问题的思路，还需要数形结合，借助图象直观形象地得出每种前提下最大值在何处取得，以提高解题效率。

三、建立二次函数模型解决问题

问题三：大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒。调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示，如果该超市每星期这种文具盒的销售量不少于115个，且单件利润不低于4元（x为整数），当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少？

【设计意图】 数学并不脱离生活实际，数学教学实践应当鼓励学生用数学的眼光看待问题，从具体的情境和问题中抽象出数量关系和变化规律，并将其符号化，建立恰当的数学模型，引导学生不仅用数学模型刻画现实世界，而且用数学工具对模型进行推理演算，求出相应的数学结果，并将其放回问题实际进行解释。在这个过程中培养学生的符号感、推理能力和数学建模思想，树立学生的应用意识。

问题四：已知实数满足的最小值。

【设计意图】 模型思想不仅用于解决与生活实际紧密联系的具体情境，而且也适用于一些单纯的数学问题。数学教学实践是基于基础知识、基本技能的教育，更是数学思想、数学方法的渗透，通过知识技能的掌握和思想方法的体会，让学生认识到数学的广泛应用，使学生在今后的个人发展中和面对社会实际时，能尝试从数学角度运用数学思维和数学工具寻求解决问题的方法。

问题五：已知点D与点A（8，0），B（0，4），C（m，-m）是一个平行四边形的四个顶点，求CD长的最小值。

师生活动：学生先独立思考并画出图形，然后全班交流，先借助画出的图形，由平行四边形对角线互相平分的性质分析出CD=2CE，再应用数学建模的思想，用函数的方法建立二次函数模型，最后利用二次函数的性质求出最值。C点在直线上运动，所以当直线时，CE取最小值，进而解决问题。或者利用直线轴正半轴夹角为45°，构造等腰直角三角形求CE的最小值，这种方法充分利用了图形的性质，用几何方法解决问题直观形象，而且能避免一些烦琐的计算。

【设计意图】 在实际应用中往往没有那么明显和直接的模型可以直接套用，而具备数学核心素养的学生也就具有用数学的眼光看待问题、用数学的思维分析问题、用数学的工具解决问题的思维和能力。在数学课堂教学实践中，教学生数学的工具是相对浅层次的“教”，更重要的是让学生用数学的眼光看待问题，用数学的思维分析问题。

变式：如果在刚才的问题中再加一个的条件，会发生什么变化吗？

【设计意图】 加了限制条件后，垂直的特殊位置无法取得，但可以利用自变量范围和函数关系求最值。进一步感受建立数学模型是解决问题的有效方法和重要思想。

【教学反思】

在本节课的设计中并没有过多地纠结于利用二次函数的图象和性质求二次函数的最值的教学，而是紧扣数形结合、数学建模等体现数学本质的核心素养，创设多样化的情境，让学生在生活情境和数学情境中寻找数量关系，用函数模型进行刻画，体会模型思想，建立符号意识；让学生在借助图形分析思考问题的过程中，感受几何直观；让学生在思考与交流的过程中，养成独立思考、合作交流的学习习惯，并能勇于表达自己的想法，理解他人的思考方法，能针对他人的发言进行反思，初步形成评价与反思的意识和严谨求实的科学态度。推理能力的发展又贯穿于整个数学学习过程中，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。而这些正是学生为了适应将来的社会生活和个人发展所需要具备的思维品质和关键能力。

学生数学核心素养的发展是个综合性的过程，而课堂教学是发展学生核心素养的重要渠道，一线教师应当深化对数学核心素养的研究，树立基于核心素养的教育理念，注重数学学科的本质特征，提高课堂教学的有效性，以此提升课堂教学对发展学生数学核心素养的推动作用，完善数学的育人功能。