关注解析几何解题中所设的隐患

鲍人灯

(浙江省天台育青中学 317200)

在数学解题中，根据题目条件和解题需要，常需做出所设.但由于对题目理解不透，使所设含有隐患，从而致解题不当以致错误.下面是解析几何解题中的关注点.

一、注意所设的全面性

在数学解题时，要对基本知识、基本概念理解透彻，对定理、公式的运用条件要清楚，注意所设的全面性，这是正确解题的基本条件.

例1 求过点A(0，2)且与抛物线y2=2x有唯一公共点的直线方程.

错解设过点A(0，2)的直线的斜率为k,则所求直线方程为y=kx+2.

k2x2+(4k-2)x+4=0.

①

剖析上述解法有两处不当.(1)设直线的斜率为k,默认了直线存在斜率.实际上，当直线斜率不存在时，该直线的方程是x=0(y轴)，该直线与抛物线相切于原点，也只有一个公共点.(2)上述化得的方程①不一定是关于x的一元二次方程，当k=0时，不能用判别式法求解.但此时的直线方程是y=2.显然该直线过点A(0，2)，且与x轴平行，与抛物线y2=2x相交于一个点，符合题意.

二、注意所设的等价性

解答数学题的过程，就是一个不断化归转化的过程.通过转化将不熟悉的转化为熟悉的；用熟知的知识方法来解决问题，但应注意转化的等价性.

错解可知所求直线必与双曲线相切.

当切线斜率k存在时，设切线是y=k(x-2)+2,代入双曲线方程，化得

(1-4k2)x2+16k(k-1)x-16(k-1)2-4=0

②.

综上所述，满足条件的直线有两条：5x-8y+6=0和x=2.

综上，符合题意的直线有四条，分别是x=2,5x-8y+6=0,x-2y+2=0,x+2y-6=0.

三、注意所设的准确性

数学解题中，要注意知识的准确性，正确把握有关的概念、性质、定理，这是正确做出所设的保证.

剖析该解法将椭圆参数方程x=acosθ,y=bsinθ中点P的离心角θ错当成是直线OP的倾斜角，得出点Q的坐标是错误的，误点是混淆了离心角与倾斜角两个不同的概念.正确解答如下：

四、注意所设的合理性

在解题中，要准确认识题目条件，注重所做假设的合理性，这样才能确保推理运算准确无误.

例4 求圆x2+y2=r2上点M(x1,y1)处的切线方程.

剖析上述解法，只适用于点M不在坐标轴上时，当点M在y轴上时，x1=0,y1=±r，切线方程是y=±r,当点M在x轴上时，x1=±r,y1=0,切线方程是x=±r.

把这两种情况补充到原错解过程中，解法就合理而全面了.当然了，最终所求的切线方程可统一写成x1x+y1y=r2.

五、注意所设的存在性

对于个别题目，若不注意方法的运用前提，忽略了检验结果的存在性，也可能出错.

例5 是否存在过抛物线y2-2x+1=0和x2+4x-2y+4=0的交点的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

错解设经过两条抛物线交点的圆的方程是

(y2-2x+1)+λ(x2+4x-2y+4)=0,

整理得λx2+y2-2(1-2λ)x-2λy+4λ+1=0.

由圆方程的特征可知，只有λ=1时，上述方程才表示圆.把λ=1代入，得到所求圆的方程是

x2+y2-2x-2y+5=0.

剖析将上述所求的方程配方，得(x+1)2+(y-1)2=-3,可见这个圆是不存在的.实际上用f(x,y)+λg(x,y)=0求解经过两条曲线交点的问题，前提是两条曲线应相交，而本题中的两条抛物线并不相交，因此所求的圆的方程并不存在.

综上所述，解答数学题时常常需要一“设”.但要特别注意所设的科学性、严谨性、可靠性，解题后要回顾或检验，避免因误设而导致的错误.

参考文献：

[1]李雪哲.浅谈走出解题因“设”而错的误区[J].中学数学月刊，2006(8).

[2]龚兵，李培锋.慎用椭圆参数方程解题[J].中学数学，2010(8).