多输入多输出随机振动试验雅克比控制算法

张步云 陈怀海 汪若尘 曾发林

摘要： 研究了多输入多输出（MIMO，Multiple Input Multiple Output）随机振动试验闭环控制系统中不同元素超标现象，通过分析多输入多输出线性时不变振动系统输入与输出的频域关系，将多路信号的功率谱矩阵分解为自功率谱、相干系数和相位差等元素，推导出能表示输入输出元素微分关系的雅克比控制矩阵，提出了一种全新的MIMO随机振动试验雅克比控制算法。该算法对功率谱矩阵中元素超标现象进行有针对性地控制，其控制收敛速度快、精度高。在多轴振动台上进行两输入两输出振动控制实验，分别设定参考谱的各元素，设置容差带，然后进行频响函数估计，利用新算法对X轴和Y轴的振动进行控制，结果表明利用雅克比控制算法可将自谱、相干系数与相位等均控制在工程标准范圍内，控制效果良好。关键词： 随机振动； 功率谱密度； 雅克比矩阵； 振动控制； 环境试验

中图分类号：O324； TN911.72文献标志码： A文章编号： 10044523（2017）04054907

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.004

引言

MIMO随机振动环境试验作为耐久性和可靠性的最佳试验方法，已被人们广泛应用在产品设计阶段与生产阶段，具有重要的工程应用价值。试验以多点功率谱作为控制目标，在识别系统的振动特性（频响函数）基础上，通过不断修正激励信号使得实际响应谱满足目标谱的容差要求[1]。作为MIMO随机振动环境试验的核心，具有快速收敛且精度高的控制算法一直是该领域研究的前沿与热点，国内外研究者们在此问题上做出了巨大的努力。

在国外，Smallwood研究团队[27]在考虑控制点完全耦合的情况下进行了四振动台的随机环境试验，提出了差分闭环反馈控制算法，该算法的提出完善了MIMO随机振动系统的理论体系。但该方法在修正的过程中容易使对角元变成负值，从而导致控制系统发散。Underwood课题小组[812]也对MIMO振动试验系统进行了深入的研究，讨论了控制点数目与激励点数目不等的情况下多台控制问题。国内方面，吴家驹[13]提出了多台并激随机振动试验的微机控制算法，但该算法并未应用于闭环控制系统。韩军[14]针对多点随机振动控制中补偿矩阵的计算，提出了一种遗传算法的优化方法，解决了大范围极值求解与非线性的问题。贺旭东[15]提出了比例均方根控制算法，并提出采用最优条件数选取主控矩阵的方法解决多点加权综合控制的问题。虽然取得了良好的控制精度，但该算法并未考虑互谱矩阵，这在应用中有一定的局限性。崔旭利[16]指出控制点之间的耦合是控制谱线超标的主要因素之一，针对此问题提出了交叉比例控制算法。后又在新坐标的体系下提出了PID（比例积分微分）控制算法[17]，能减小功率谱与参考谱之间的相对误差，提高控制精度。在这些传统的控制方法之外，不少研究者开始瞄准现代控制理论，将其应用到MIMO随机振动控制中。田玉虎[18]将H∞控制理论引入到双振动台解耦控制中，克服了传统系统的鲁棒性较差的缺点。游伟倩[19]基于H∞范数的计算方法，提出了一种新的优化算法，并通过仿真验证了算法的正确性。这些已经发表或已应用的算法大多是针对目标频带的超标谱线进行整个频带的信号修正，且有些控制算法不考虑多点控制中目标谱的互谱关系，其算法应用具有一定的局限性。

本文基于线性时不变（LTI）系统理论，从MIMO振动系统的激励与响应在频域中的关系出发，将目标谱表示为自谱、相位和相干函数等元素的组合形式，推导出激励谱元素与响应谱元素的函数关系，得出雅克比控制矩阵，从而提出针对目标谱特定元素进行修正的控制算法。并在三轴向振动台上进行了X和Y方向的MIMO随机振动试验，试验结果表明该控制算法的控制精度与收敛速度均能满足工程需求。

1MIMO随机振动试验系统

第4期张步云，等：多输入多输出随机振动试验雅克比控制算法振 动 工 程 学 报第30卷MIMO随机振动试验闭环反馈系统（如图1所示）是在频域中再现产品实际工作所经历的随机振动环境，根据不同类型的振动设定不同的参考谱Sr。对于多维随机振动试验来说，一般Sr是功率谱密度矩阵，同时包含控制点自谱与互谱的信息。在设定好参考谱后进行测试件的频响函数测试，再根据线性振动理论在频域中得到理论上的激励谱Sd。采用时域随机化的方法将激励谱转化为时域随机信号，输入到数采系统通过DC/AC转换为激励信号加载到测试试件上。在目标控制点采集信号并作功率谱估计得到响应谱Sy，与参考谱Sr进行比较，若满足容差要求（一般要使得响应谱控制在参考谱的±3 dB之内）则可进一步进行振动试验。若不满足则需对激励信号进行控制修正，直到满足要求。上述即为MIMO随机振动试验闭环反馈系统的工作原理与流程。图1MIMO随机振动闭环反馈系统流程

Fig.1Flow diagram of MIMO random vibration closeloop feedback system2MIMO随机控制算法〖2〗2.1雅克比控制矩阵MIMO随机振动试验控制是基于线性振动理论，以矩阵理论为基础，在较短的时间内“同时”激发给定功率谱谱形的宽带随机振动。本文以两输入两输出振动系统为例，系统地阐述控制过程，进而提出新的控制算法。

根据振动理论可知，多路具有相干特性的随机信号可用功率谱密度矩阵来表示，信号之间的相干特性与相位特性均可通过互功率谱的形式表现出来。图2是典型的两输入两输出振动系统模型，假定两路信号具有一定的相关特性。

图2两输入两输出振动系统模型

Fig.2Two input two output vibration system model

记激励信号d1的自功率谱密度为Sd，11，d2的自功率谱密度为Sd，22，两者之间的互功率谱密度为Sd，12。d1和d2的相干系数为|γd|2，相位差为θd，hij表示频响函数中的元素。则激励信号的功率谱密度矩阵可表示为如下形式Sd=Sd，11Sd，12

Sd，21Sd，22（1）考虑两路信号的相关特性，共可用4个独立的元素来表达，即两路信号的自谱、相干系数与相位差。故采用四元素法表示激励信号为Sd=Sd，11|γd|Sd，11Sd，22ejθd

|γd|Sd，11Sd，22e-jθdSd，22（2）式（2）意味着两路时域信号可用4个独立的元素在频域表示，并可通过时频转换的方法将频域信号转换为时域中的两路真随机信号。在振动试验控制中，修改驱动信号也就是修改这些独立的元素，故振动试验控制时域信号的修正便转化为对自谱、相干系数与相位的修正。

同样地，记响应功率谱密度矩阵为Sy=Sy，11Sy，12

Sy，21Sy，22（3）根据线性振动理论，有Sy =HSdHH=h11h12

h21h22·

Sd，11|γd|Sd，11Sd，22ejθd

|γd|Sd，11Sd，22e-jθdSd，22·

h*11h*21

h*12h*22（4）式中上标“H”表示共轭转置，将该式展开得Sy，11=|h11|2Sd，11+|h12|2Sd，22+

2|h11h*12||γd|Sd，11Sd，22

Sy，22=|h21|2Sd，11+|h22|2Sd，22+

2|h21h*22||γd|Sd，11Sd，22

Sy，12=h11h*21Sd，11+h*22h12Sd，22+ （h*22h11ejθd+

h*21h12e-jθd）|γd|Sd，11Sd，22

Sy，21=h*11h21Sd，11+h22h*12Sd，22+ （h22h*11e-jθd+

h21h*12ejθd）|γd|Sd，11Sd，22 （5）由此式可知，在频响函数矩阵H已测的情况下，响应功率谱密度矩阵由激励唯一确定，记Sy=Sy，11Sy，22Sy，12Sy，21T

Sd=Sd，11Sd，22|γd|θdT（6）有Sy=fSd（7）其中f=[f1 f2 f3 f4]T，则有Sy1=f1Sd，11，Sd，22，|γd|，θd

Sy2=f2Sd，11，Sd，22，|γd|，θd

Sy3=f3Sd，11，Sd，22，|γd|，θd

Sy4=f4Sd，11，Sd，22，|γd|，θd（8） 对式（8）取微分得dSy1=f1Sd，11dSd，11+f1Sd，22dSd，22+

f1|γd|d|γd|+f1θddθd

dSy2=f2Sd，11dSd，11+f2Sd，22dSd，22+

f2|γd|d|γd|+f2θddθd

dSy3=f3Sd，11dSd，11+ f3Sd，22dSd，22+

f3|γd|d|γd|+f3θddθd

dSy4=f4Sd，11dSd，11+f4Sd，22dSd，22+

f4|γd|d|γd|+f4θddθd （9）用向量矩陣表示为dSy1

dSy2

dSy3

dSy4=

f1Sd，11f1Sd，22f1|γd|f1θd

f2Sd，11f2Sd，22f2|γd|f2θd

f3Sd，11f3Sd，22f3|γd|f3θd

f4Sd，11f4Sd，22f4|γd|f4θddSd，11

dSd，22

d|γd|

dθd（10）记为dSy=JcdSd（11）式中Jc称为雅克比控制矩阵，为Jc=f1Sd，11f1Sd，22f1|γd|f1θd

f2Sd，11f2Sd，22f2|γd|f2θd

f3Sd，11f3Sd，22f3|γd|f3θd

f4Sd，11f4Sd，22f4|γd|f4θd（12）控制矩阵中元素的具体表达式见附录。

2.2算法公式

设试验中参考谱为Sr，令驱动谱密度矩阵初始值为Sd，0= ASrAH，A=H-1称为补偿矩阵。第k次响应谱为Sy，k，其与参考谱之间的误差为ΔEr，k=Sr-Sy，k（13）第k+1次的驱动谱为Sd，k+1=Sd，k+ΔSd，k（14）联立式（11），（13）和（14），可得第k+1次修正谱为Sd，k+1=Sd，k+J-1c（Sd，k）ΔEr，k式（15）即为多输入多输出随机振动试验的雅克比控制算法的表达式。事实上，振动试验难免受到噪声的影响。而该算法以实际测得的响应信号作为控制算法系统的输入，考虑了振动系统的响应噪声；又以驱动信号作为系统的输出，这部分信号直接加载于振动台作为振动系统的激励，无需考虑噪声。

3试验验证〖2〗3.1参考谱设置与频响函数测试为验证本文算法，在三轴电动振动台上进行MIMO随机振动试验验证，控制目标为互相垂直的X轴和Y轴方向的振动，两个方向的解耦由振动台本身机械实现。试验现场如图3所示，传感器放置于振动台面200 mm×200 mm的中间。图3振动试验现场

Fig.3Vibration test site

首先需设定参考谱，由于本算法是针对随机信号的振动控制，并不适用于正弦、冲击等其他信号，故参考谱的设置应采用宽频功率谱，至于谱形如何对于控制来说并无关系。本试验两个方向的参考自谱相同，频率20～2000 Hz，平谱的谱值为1.0×10-3 g2/Hz。相位差设定为60°，相干系数在对数坐标下从0.3变换到0.6，如图4所示。图4参考谱设置

Fig.4Reference PSDs

利用MATLAB生成两路互相独立的随机信号，通过数据采集与发送设备VXI系统加载到振动台，该激励信号是低量级的力信号。在振动台面拾取PCB 333B32加速度传感器采集的加速度响应信号，采用H1估计法进行频响函数估计，其结果如图5所示。

3.2控制結果

控制算法由MATLAB自主编程，首先测试在未进行控制情况下的系统响应，如图6所示。图中绿色实线表示参考谱±3 dB，红色线为±6 dB，黑色实线为响应信号的谱线。图5频响函数测试幅频图

Fig.5Frequency response function estimationamplitude/frequency

图6未进行控制时系统响应

Fig.6System response before control

从图6可以看出，在X轴的高频段和Y轴的低频段的响应谱与参考谱有一定的差距。在37.5和80 Hz处，相位分别为-58.59°和-33.85°，与参考值60°相差较大。相干系数在72.5 Hz处的值为0.7125，超过了参考值0.3839近一倍。这些频率处的误差必须通过修正驱动谱来消除或降低，根据本文提出的修正算法进行振动控制，控制结果如图7所示。图7控制后系统响应

Fig.7System response after control

在振动控制中，振动量级是衡量控制结果的一个重要的指标，因为试件在不同的振动量级下的破坏及疲劳损伤截然不同。衡量振动量级的参数是总均方根值，本试验中每一个轴向的参考总均方根值为1.724g，控制结果中X轴的总均方根值为1.7727g，Y轴的总均方根值为1.7514g，与参考值之间的误差分别为2.8%与1.6%。符合工程中技术指标要求，也说明本文的控制方法是真实有效的。

4结论

控制算法是MIMO随机振动闭环反馈控制系统的核心内容，本文从LTI振动理论入手，深入分析了振动系统多维激励与响应在频域中的关系，将功率谱密度矩阵分解成自谱、相干系数和相位等多个独立的元素，从而推导出响应谱元素与激励谱元素的函数关系，得到雅克比控制矩阵，进而提出具有针对性修正的雅克比控制算法。该算法能快速将超标谱线修正，将其收敛到参考谱的容差带之内。

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Jacobi control algorithm for MIMO random vibration test

ZHANG Buyun1， CHEN Huaihai 2， WANG Ruochen1， ZENG Falin1

（1. Automotive Engineering Research Institute， Jiangsu University， Zhenjiang 212013， China；

2. Institute of Vibration Engineering Research， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： The question of exceeding or going below the certain limits on closeloop feedback control system of MIMO（Multiple Input Multiple Output） random vibration test is studied， and in the paper the relationship between inputs and outputs of MIMO LTI（Linear Time Invariable） vibration system is deeply analyzed. The PSD（Power Spectral Density） matrix of multiple signals could be expressed by autospectral density， coherence and phase which are independent elements， thus the Jacobi control matrix is deduced to express the differential relationship between the input and output signals. In the final a new method called Jacobi control algorithm is proposed to be applied in MIMO random vibration test. The method controls the element values of PSD which exceed or go below certain limits， so the convergence speed is faster and the control precision is higher. A twoinput twooutput test is conducted on a threeaxis electrical vibration table. In the first the reference PSD including autospectral density， coherence， and phase should be set， then the tolerance should be set by ±3 dB. The FRF（Frequency Response Function） would be estimated by H1method， and the new algorithm is to be applied to control the Xaxis and Yaxis vibration. The results show that the algorithm can update the autospectral density， coherence， and phase into the tolerance of reference PSD.Key words： random vibration； power spectral density； Jacobi matrix； vibration control； environmental test作者簡介：张步云（1987—），男，讲师。电话：13914560131；Email：zhangby@ujs.edu.cn

附录：雅克比控制矩阵的元素表达式

f1Sd，11 = |h11|2+|h11h*12||γd|Sd，22Sd，11

f1Sd，22 = |h12|2+|h11h*12||γd|Sd，11Sd，22

f1|γd| =2|h11h*12|Sd，11Sd，22

f1θd =0 ， f2Sd，11= |h21|2+|h21h*22||γd|Sd，22Sd，11

f2Sd，22= |h22|2+|h21h*22||γd|Sd，11Sd，22

f2|γd|=2|h21h*22|Sd，11Sd，22

f2θd=0，

f3Sd，11 =h11h*21+（h*22h11ejθd+h*21h12e-jθd）|γd|2Sd，22Sd，11

f3Sd，22 =h*22h12+（h*22h11ejθd+h*21h12e-jθd）|γd|2Sd，11Sd，22

f3|γd| =（h*22h11ejθd+h*21h12e-jθd）Sd，11Sd，22

f3θd =j（h*22h11ejθd-h*21h12e-jθd）|γd|Sd，11Sd，22 ，

f4Sd，11 =h*11h21+（h22h*11e-jθd+h21h*12ejθd）|γd|2Sd，22Sd，11

f4Sd，22 =h22h*12+（h22h*11e-jθd+h21h*12ejθd）|γd|2Sd，11Sd，22

f4|γd| =（h22h*11e-jθd+h21h*12ejθd）Sd，11Sd，22

f4θd =-j（h22h*11e-jθd-h21h*12ejθd）|γd|Sd，11Sd，22