基于本征梁理论的非线性大挠度柔性梁无网格动力学计算

何欢 王陶 刘庞轮 陈国平

摘要： 本征梁方程是一种建立在Frenet标架上的，具有精确几何变形描述能力的梁的动力学控制方程，具有非线性阶数低、方程形式简洁的优点。提出了一种与本征梁方程相适应的无网格离散和相应的计算方法。针对本征梁方程的特点，引入配点型无网格方法对本征梁方程进行离散化处理，推导出了仅具有一阶导数和二阶非线性项的本征梁运动控制方程。采取此方法建立的大柔性梁在动力学计算过程中无需背景网格，避免了常规有限元建模所需的网格积分。利用这一特性，无需像传统非线性有限元分析那样在每一个计算时间步上进行的网格积分运算，简化了计算步骤。数值算例结果表明此方法具有很好的计算精度。关键词： 非线性振动； 多体动力学； 无网格方法； 本征梁； 大柔性

中图分类号：O322； O313.7文献标志码： A文章编号： 10044523（2017）04053507

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.002

引言

梁是一种常见的结构，被广泛应用于工程领域中，如直升机旋翼、大展弦比机翼、桥梁等结构。近年来，随着生物力学的兴起，对DNA双螺旋结构、蛋白质多肽链进行动力学分析时，也常常将这类微观结构简化为三维大柔性梁模型。

Reissner将横向剪切变形[12]引入经典的KirchhoffLove模型[3]，建立了考虑有限转动的中等挠度梁方程。Simo建立了能够精确表征梁变形的几何关系的方程[4]。Antman使用旋转张量来描述梁在运动过程中横截面的变形特征[5]。Simo和VuQuoc分别针对静、动力学的两种情况[67]，采用有限元法对几何精确梁方程进行了计算。Ibrahimbegovic[8]基于Reissner的三维有限应变梁理论，将非线性大挠度梁的动力学方程进行了改造，推广到预弯曲梁分析领域中。Jelenic和Saje在旋转自由度中引入修正项，避免了有限转动梁方程求解过程中的剪切闭锁现象[9]。吴国荣等[10]采用多体系统方法来研究柔性梁大挠度动力响应问题。张志刚等[11]提出了基于曲率插值的大变形梁单元来进行梁的非线性分析。杜超凡[12]等引入网格径向基插值法来分析旋转柔性梁的动力学，推导出系统刚柔耦合动力学方程。章孝顺等[13] 针对在平面内做大范围转动的中心刚体柔性梁系统的动力学进行了研究，基于浮动坐标系法，建立了考虑大变形效应的系统刚柔耦合动力学模型，并进行了动力学仿真。古雅琦等[14]以EulerBernoulli梁单元的完整二阶位移场为基础，推导了一种基于U L格式的大变形几何非线性梁单元。何欢等[15]分析了大挠度空间梁弯扭耦合项对梁的振动响应的影响。余跃庆[16]等基于伪刚体模型原理，提出一种用于模拟具有单拐点大变形梁的伪刚体模型。张新榃[17]等采用非线性欧拉梁模型对风力机叶片大幅值气动弹性动态响应问题进行了研究。张志刚等[18]以表征梁弯曲应变的曲率和轴向应变作为单元参数，构造了能够自动计及“动力刚化项”的大变形刚柔耦合动力学平面柔性梁单元。郑彤[19]等采用绝对节点坐标法建立了三维大变形柔性梁系统的动力学模型。王金龙[20]等利用非线性大变形梁理论建立了海流作用下的SLWR立管模型。

上述方法均以位移为基本变量。对采用位移为基本变量的梁的运动方程来说，若要精确描述梁的有限转动，必然需要通过位移将有限转动表示出来。这样一来，不可避免的会引入高阶非线性项。采用曲率和应变来描述梁的变形可以解决有限转动的精确度量问题，且方程中仅包含二阶非线性项。Borrihe和Mantegazza利用曲率和应变为基本量建立了预弯曲梁的本征方程[21]，但他们在方程的求解过程中仍然需要用位移和转动项将方程重新表示出来。2003年，Hodges建立了一种形式非常简洁的本征梁方程，并将该方程应用于大柔性旋翼[2224]及大展弦比机翼[2530]的动力学和气动弹性研究领域。在无惯性运动时，Hodges提出的本征梁方程与Borri和Mantegazza[21]以及Simo和Vuquoc[1]方程形式类似，不同的是本征梁方程在求解时无需先采用位移和转角重组方程。

由于Hodges提出的本征梁方程具有非线性程度低、方程形式简单的特点，通常可以采用差分格式进行求解。然而，差分解需要将梁划分为非常细密的差分点，否则计算不稳定。然而，采用细密的离散方式必然导致计算规模的大幅度增加。本文针对本征梁控制方程的特点，引入配点型无网格方法对本征梁方程进行离散化处理，推导出了仅具有一阶导数和二阶非线性项的本征梁无网格动力学方程。本文方法建模方法简便，所建立的大柔性梁动力学模型无需背景网格，避免了常规有限元建模所需的网格积分，进而大大简化了方程的求解过程。

第4期何欢，等：基于本征梁理论的非线性大挠度柔性梁无网格动力学计算振 动 工 程 学 报第30卷1本征梁动力学控制方程

Hodge[24]提出的本征梁动力学控制方程，是以曲率和应变为基本未知量建立的方程，由于采用Frenet标架，以自然坐标系描述梁的几何特征，使得方程中不包含复杂的有限旋转变量，这给梁的非线性动力学研究带来极大方便。

1.1本征梁的几何描述

为精确描述大柔性梁的变形，Hodges引入Ωref，Ω0和Ωf分别表示参考构型、初始构型和当前构型，其中参考构型为零曲率和应变的直梁的构型。

取梁横截面弯心连线作为梁的参考轴，并在该轴上定义自然坐标x1（后续文中x1均指梁的弯心连线在自然坐标系下的坐标）。在Ωref中，以笛卡尔坐标系下的一组正交单位矢量[I1，I2，I3]来描述其截面坐标系，其中I1与直梁中性轴指向相同。对初始构型Ω0和当前构型Ωf，其位于x1处的截面坐标系可以分别由一组正交基矢量[b1（x1），b2（x1），b3（x1）]和[B1（x1），B2（x1），B3（x1）]描述，其中b1（x1）为初始构型Ω0的参考轴在x1处的切矢量。由于剪切变形的存在，B1（x1）不一定为当前構型Ωf的参考轴在x1处的切矢量。本征梁构型及各基矢量如图1所示。

图1本征梁构型描述示意图

Fig.1Description of the intrinsic beam′s configurations图中R和r分别为当前构型和初始构型的参考轴在x1处的矢径。由此，在x1处可以确定由当前构型截面弯心为坐标原点，以B1（x1），B2（x1）和B3（x1）为基矢量的当前构型截面坐标系OB1B2B3，以及以初始构型截面弯心为坐标原点，以b1（x1），b2（x1）和b3（x1）为基矢量的初始构型截面坐标系Ob1b2b3。

1.2本征梁的运动平衡方程

Hodge以曲率和应变为基本量建立的梁运动平衡方程和运动协调方程可表示为[24]：F′+κ×F+f=+Ω×P（1）

M′+κ×M+（e1+γ）×F+m=

+Ω×H+V×P（2）

Ω′+κ×Ω=（3）

V′+κ×V+（e1+γ）×Ω=（4）式中f和m分别为单位长度上的外力和外力矩矢量，F和M分别为内力和内力矩矢量，V和Ω分别是速度和角速度矢量，P和H分别为动量和角动量矢量，e1=[100]T个为单位矢量。式中字母上的“·”表示对时间的偏导数，后续出现的“·”也均为此含义，撇号表示对自然坐标x1的偏导数，如无特别说明，后文出现的撇号均为此含义。

若梁截面形状对称，则有：P=μV（5）

H=IcΩ （6）式中μ为线密度，Ic为转动惯量矩阵[24]，为Ic=ι100

0ι20

00ι3 （7）式中ι1，ι2和ι3为单位长度梁截面的转动惯量。

对各向同性材料来说，在本征梁理论中的本构方程可表示为：F=Dfγ-γ0（8）

M=Dmκ-κ0 （9）其中Df为力本构矩阵，表征了内力和应变的关系；Dm为弯曲本构矩阵，表征了弯矩和曲率之间的关系。κ0和γ0分别为初始曲率和初应变。

将式（5）～（9）代入式（1）和（2），并将式（3）和（4）进行整理，得μ=Dfγ′+κ×Dfγ-γ0-

μΩ×V+f（10）

Ic=Dmκ′+κ×Dmκ-κ0-Ω×IcΩ+

e1+γ×Dfγ-γ0+m（11）

=Ω′+κ×Ω（12）

=V′+κ×V+（e1+γ）×Ω（13）也可将式（10）～（13）表示为μk=Dfklγ′l+κiDfjlγl-γ0，lεijk-

μΩiVjεijk+fk （14）

ιkk=Dmklκ′l+κiDmjlκl-κ0，l-ΩiιjΩjεijk+

δi1+γiDfjlγl-γ0，lεijk+mk （15）

k=Ω′k+κiΩjεijk（16）

k=V′k+κiVj+δi1+γiΩjεijk（17）式（14）～（17）为张量形式表示的本征梁动力学控制方程，为典型的二次非线性一阶微分方程组。式中ιlΩl，l=j，k为常规意义上的相乘，不表示张量求和。除此之外，均按张量运算法则。

2本征梁动力学控制方程的无网格离散从式（14）～（17）可以看出，本征梁运动控制方程仅为二次非线性一阶微分方程。由于仅具有一阶导数，且非线性程度低，引入配点型无网格法可以很便利地对方程进行离散化处理。

由于只有一阶微分项，那么选择二次及二次以上多项式作为形函数进行插值就可以满足方程求解要求。

沿梁的参考轴的自然坐标对梁进行离散，对任意影响域，本征梁运动控制方程中的基本变量可表示为Vi=NIVIi， Ωi=NIΩIi

γi=NIγIi， κi=NIκIii=1，2，3（18）式中I表示該影响域内的第I个节点，NI=NIξ为形函数，ξ=ξx1为无量纲化坐标。

将式（18）代入式（14）～（17）可以得到任意影响域上的控制方程：μNIIk=N′IQDfklγIl-NIκIiDfjlγ0，lεijk+

NINJκIiDfjlγJl-μΩIiVJjεijk+fk（19）

NIιkIk=N′IQDmklκIl-NINJΩIiιjΩJjεijk+

NIδi1DfjlγIl-κIiDmjlκ0，l-γIiDfjlγ0，lεijk+

NINJDfjlγJlγIi+DmjlκJlκIiεijk-

δi1Dfjlγ0，lεijk+mk （20）

NIIk=N′IQΩIk+NINJκIiΩJjεijk（21）

NIIk=N′IQVIk+NINJκIiVJj+γIiΩJjεijk+

δi1NIΩIjεijk （22）式中Q=dx1dξ，N′I=NIξ。

定义F0i=Dfijγ0，j， M0i=Dmijκ0，j（23）式中F0i和M0i分别为与初应变和初始曲率对应的初始力和初始弯矩。将式（23）代入式（19）和（20），简化得：μNIIk=N′IQDfklγIl-NIκIiF0jεijk+

NINJκIiDfjlγJl-μΩIiVJjεijk+fk（24）

NIιkIk=N′IQDmklκIl-NINJΩIiιjΩJjεijk+

NIδi1DfjlγIl-M0jκIi-F0jγIiεijk+

NINJDfjlγJlγIi+DmjlκJlκIiεijk-

δi1F0jεijk+mk（25）对配点型无网格法来说，影响域内任意第K个节点，应满足式（21），（22），（24）和（25）。因此，将节点K的坐标代入影响域内的控制方程，得：μaIKIk=bIKDfklγIl-aIKκIiF0jεijk+

cIJKκIiDfjlγJl-μΩIiVJjεijk+fk（26）

aIKιkIk=bIKDmklκIl-cIJKΩIiιjΩJjεijk+

aIKδi1DfjlγIl-M0jκIi-F0jγIiεijk+

cIJKDfjlγJlγIi+DmjlκJlκIiεijk-

δi1F0jεijk+mk（27）

aIKIk=bI KΩIk+cIJKκIiΩJjεijk（28）

aIKIk=bIKVIk+δi1aIKΩIjεijk+

cIJKκIiVJj+γIiΩJjεijk（29）式中aIK=NIξK， bIK=QN′IξK，

cIJK=NIξKNJξK（30）注意到形函数的紧支性，当I≠K或J≠K时，aIK=0且cIJK=0。因此式（26）～（29）所示的方程均有稀疏性，这对提高方程的求解效率是有积极意义的。

对任意影响域内的每个节点，按式（26）～（29）建立方程，再将各影响域的运动控制方程进行组集，得A=Bη+FNintη，t+Fext（31）式中FNint为非线性内力构成的向量，Fext为外力项，η=ηT1ηT2…ηTnT为方程变量构成的待求解向量，ηr=VTrΩTrκTrγTrT为第r个节点的各变量构成的向量，其中Vr=Vr1Vr2Vr3T

Ωr=Ωr1Ωr2Ωr3T

κr=κr1κr2κr3T

γr=γr1γr2γr3T （32）从上文的推导中不难发现，式（31）为关于时间的一阶常微分方程，可采用一般的时域积分算法进行求解。

在計算出各本征量后，梁在任意截面处的矢径可表示为[24]：R′=（1+γ1）B1+γ2B2+γ3B3（33）

B′i=κ×Bi，（i=1，2，3）（34）根据式（33）和（34）计算出梁上任意点的变形。

3数值算例

考虑长为75 cm的矩形横截面悬臂梁，截面尺寸为10 cm×10 cm，线密度为0.001 kg/cm，弹性模量为1 MPa，泊松比为0.25。在初始时刻突然在梁的自由端沿Y的反方向和Z方向施加大小相同的恒定集中力F2=F3=35.36 N，如图2所示。

图2受伴随力作用的悬臂梁

Fig.2Cantilever beam subjected to follower force

采用本文方法计算得到该悬臂梁1 s内的动力学响应。根据计算结果绘制出选取的5个节点处的位移响应历程曲线，如图3中的实线所示。图中x1=0到x1=75分别表示所选取的点在梁的自然坐标系下的坐标位置。

作为对比，本文在非线性瞬态有限元分析程序Abaqus中采用480个等尺寸的C3D8六面体单元建立了该悬臂梁的动力学模型。由Abaqus计算得到对应位置处的位移响应时间历程如图3中的虚线所示。

从图3中可以看出悬臂梁在算例所示载荷作用下产生了很大的变形，3个位移分量均达到了40 cm以上。图3中，本文方法计算结果和Abaqus计算结果给出的3个位移分量的动响应时间历程曲线高度吻合，说明了本文方法计算的准确性。图3位移响应对比

Fig.3Comparison of the displacement response

由图3中位移响应历程曲线可以看到，梁在集中力作用下发生剧烈的震荡，位移曲线呈现出“U”形。由于集中力在Y和Z方向上的分量大小相同，位移对应的分量u2，u3的时间响应曲线也是对称的。在约0.4 s时刻，梁发生了弹性回弹现象。

在整个计算模拟时间间隔内，选择若干个不同时刻的运动状态，如图4所示。通过图4可以直观地看出梁在载荷作用下的运动过程。初始时刻，梁受到载荷作用产生变形，图中蓝色线条表示梁变形增加的过程。到约0.4 s时，梁的变形达到最大值，随后产生回弹。品红色线条表示梁在产生最大变形量以后的回弹过程。图4梁在不同时刻的变形状态

Fig. 4Snapshots of the beams deformation

计算得到的曲率和应变时间历程响应如图5所示。图5中各种不同颜色的线条表示梁上不同位置处的动响应（例如，红色实线表示自由端（x=75 cm）的曲率和应变响应）。由于在自由端仅仅施加的是集中力，因此两个曲率分量均为零，如图5（a）和（b）的红色线条所示。此外，从图中可以看出，由于加载的对称性，决定位移分量u2，u3的κ2，κ3以及γ2，γ3也是对称的。这与实际物理现象也是相符的。图5梁的曲率和应变响应曲线

Fig.5Curvature and strain versus time4结论

不同于传统的非线性梁理论，本征梁方程仅具有一阶导数和二阶非线性项。本文利用本征梁理论的非线性程度低的特点，将配点型无网格方法应用到大柔性梁的无网格动力学建模中。论文研究结果表明：

1） 采用本文方法只需要一组离散的点即可很方便地建立具有精确几何构型描述能力的大柔性梁动力学方程。

2） 相比于传统的非线性有限元方法，本文方法避免了在每个计算步中的网格积分运算，提高了大柔性梁运动方程的求解效率。由于引入了本征梁理论，最终运动方程仅具有一阶非线性，可以采用更低阶插值函数进行描述。由于本征梁的精确几何特点，采用较少的离散点就可以非常准确地算出柔性梁的变形构型。

3） 本文采用配点型无网格方法对大柔性梁控制方程进行离散，若采用紧支函数作为基函数，则得到的离散控制方程具有稀疏性，这对后续响应计算的效率有积极意义。本文给出的配点型本征梁无网格方程的推导过程具有一般性，按此过程不难获得其他类型的无网格本征梁动力学方程。

4） 计算结果表明，本文方法得到的计算结果与细密网格建立的Abaqus模型计算结果相符，能够有效地模拟出大柔性梁的大挠度、大转动变形，说明本文提出的大柔性非线性梁无网格动力学方程的准确性。

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Solving the nonlinear dynamic equations of the intrinsic beam formula by using

element free method for the flexible beam with large deflection

HE Huan1，2， WANG Tao1， LIU Panglun1， CHEN Guoping1，2

（1. State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University

of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China；

2. Institute of Vibration Engineering Research， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： The intrinsic beam formula which is defined in the Frenet frame is one of the geometrically exact beam theories. This means that the deformation or the configuration of the beam can be described by the intrinsic beam theory exactly. By using the intrinsic beam theory， the equations of the beam can be expressed by lower order nonlinear terms with elegant form. This paper presents a meshless method for dynamic analysis of the large deflection flexible beam based on the intrinsic beam theory. The point interpolation meshless method is combined with the intrinsic beam formula to obtain the discretization equation of motion for the large deflection curved beam. Owing to the advantages of the intrinsic beam theory， the resulted equations are expressed in the first order partial differential form with second order nonlinear terms. With application of the presented method， the equation of motion of the large deflection flexible beam can be easily constructed without using integration with background cells， which the finite element always require. Thus， the present method does not need the integration process for every element during each time step. Finally， numerical example shows that the results predicted with the proposed method have good agreement with those generated using the commercial finite element software ABAQUS. Key words： nonlinear vibration； multibody dynamics； mesh free method； intrinsic beam； large deflection作者簡介：何欢（1978—），男，副教授。电话：13913865435；Email： hehuan@nuaa.edu.cn

Abstract：

Key words： intrinsic beam； nonlinear； mesh free method； dynamic analysis； large deflection； flexible beam.

作者简介： 何欢（1978 – ），男，副教授。电话：13913865435； Email： hehuan@nuaa.edu.cn