孤立波在一维阻尼颗粒链中的传播

石玉仁，宋宗斌，杨雪滢，李烈娟，封文星

(西北师范大学 物理与电子工程学院，甘肃 兰州 730070)

孤立波在无预应力一维非线性颗粒链中的传播最早由Nesterenko在1984年提出[1]，并且最近已经得到证实[2].文献[1-2]中，作者假定两个相互接触颗粒之间的相互作用遵循赫兹定律，发现一维颗粒链中这种相互作用的传播会形成孤立波，这种孤立波具有很强的非线性[3-5].Nesterenko发现，在这种赫兹相互作用的颗粒链中，作用力或速度的传播具有类孤子的性质[6-9].后续理论和实验研究证实了这种类型孤子的存在[10-13].尽管目前在这方面有大量研究工作[11-12,14-15]，但颗粒系统在物理学中的研究仍具有很大挑战性.

文献[16-17]中，研究人员发现，有预应力的一维颗粒链中的孤立波与无预应力情况下的声波具有很多不同特性，说明预应力可能对孤立波的性质起着重要作用.然而，在大多数研究中，阻尼效应往往被忽略.我们发现当考虑阻尼效应时，孤立波的一些性质将发生变化.数值结果表明，随着时间的增加，孤立波的振幅呈指数式衰减.

文中采用数值模拟的方法研究了一维颗粒链中考虑阻尼效应时孤立波的传播，发现孤立波在传播过程时其振幅、速度均不断减小，这与无阻尼情形时大不相同.我们也对不同的颗粒材料参数情形进行了数值研究，考察了材料的各参数对孤立波振幅及速度的影响.

1 模型介绍

图1 一维颗粒链示意

设第1个颗粒在外力驱动下沿水平方向作简谐振动，其运动方程为

u1(t)=Asinωt,v1(t)=Aωcosωt,

(2)

其中，A和ω分别表示振动的振幅和频率(均为常数).对最右端的第N个颗粒，因为它是固定的，所以其运动方程为

vN(t)=0.

(3)

2 孤立波的数值模拟

虚线条:无阻尼情形；实线条：有阻尼情形

从图2可以清楚地看到，由于阻尼力的存在，阻尼孤子的振幅比无阻尼孤子的小.此外，无阻尼孤子在相同的时间内传播的距离比阻尼孤子远，意味着无阻尼孤子的平均速度比阻尼孤子的平均速度要快.详细的考查表明，随着时间的推移，无阻尼孤子的速度振幅几乎不变，而阻尼孤子的速度振幅随着时间的增加呈指数式衰减,如图3所示.

图3给出了给定参数情形下不同时刻孤立波的波形.从图3可以看出，阻尼孤子向右传播时，其振幅随时间增加单调下降，表明系统中的阻尼力对颗粒链中孤立波的传播有很大影响，也意味着颗粒的运动伴随着动能的损失.对不同时刻孤立波的振幅做拟合后(拟合曲线为图3中所示单调递减曲线)，发现孤立波的振幅随时间增加大致呈指数式衰减.

图3 一维颗粒链中时间t=0.0002,0.0004, 0.0006,0.0008,0.0010 s时孤子的传播

为考查阻尼系数对孤立波传播的影响，图4给出了不同阻尼系数下阻尼孤子在同一时刻的波形.从图4可以看出，阻尼系数越小，同一时刻孤立波的振幅越大，表明阻尼系数的增加导致颗粒振动时损失了更多动能.从图4还可看出，对于较小的阻尼系数，阻尼孤子的传播距离比较长，意味着阻尼孤子的平均速度随着阻尼系数的增加而减小.

图4 一维颗粒链中t=0.001 s时不同阻尼系数时 孤子的波形

实线为β=25 kg·s-1时的拟合曲线

数值模拟中也考查了不同材料的物理参数对孤立波传播的影响.选取颗粒链为比较常见的钢、铝、铅材料构成，相应的参数取为：铝的杨氏模量Y=0.717×1011Pa，泊松比σ=0.3，密度ρ=2.7×103kg·m-3；铅的杨氏模量Y=0.17×1011Pa，泊松比σ=0.3， 密度ρ=11.3×103kg·m-3(钢材料的参数见前面).其余参数与前文保持一致，在不同的材料情形下，数值结果如图7所示.从图7可以看出，不同材料情况下相同阻尼系数(β=10 kg·s-1)时孤立波的振幅和速度均不同.在t=0.0005 s时刻，3种材料下孤立波的振幅分别大约为20,8,5 m·s-1.而孤立波向右传播的距离大约为0.9 m,0.8 m,0.2 m.在这3种情形下，钢材料制成的一维有阻尼颗粒链中，孤立波速度衰减得最慢；铅材料中衰减得最快.表明材料的杨氏模量和密度对于孤立波的产生，以及振幅和速度均有着明显影响.

实线为R=0.004 m时的拟合曲线

图7 不同颗粒材料下阻尼孤子的传播

3 结束语

考虑阻尼效应的情况下，通过数值模拟研究了非线性波在一维颗粒链中的传播.数值结果表明，当颗粒链中存在阻尼力时，随着时间的增加，孤立波的振幅呈指数式衰减，孤立波的速度也随着时间增加而减小.当阻尼增大时，孤立波的振幅和速度减小得更大.表明阻尼系数在该非线性系统中是一个重要参数.同时，也对不同参数情形下孤立波的传播进行了比较，发现材料的参数也对孤立波的传播具有明显影响.该结果对于一些物理问题的理解和解决具有一定的意义.

:

[1] NESTERENKO V F.Propagation of nonlinear compression pulses in granular media[J].ApplMechTechPhys,1983,5(5):733.

[2] LAZARIDI A N,NESTERENKO V F.Observation of a new type of solitary waves in a one-dimensional granular medium[J].ApplMechTechPhys,1985,26(3):405.

[3] XIA J H,WANG P J,LIU C S.Matering process of solitary wave train in a step-down chain[J].ChinPhysB,2012,21(2):024501.

[4] 黄德财，陈伟中，杨安娜，等.孤立波在一维复合颗粒链中传播特性的模拟研究[J].物理学报，2014,63(15):154502.

[5] LAURENT P,NICHOLAS B,LAI Y M,et al.Nonlinear waves in disordered diatomic granular chains[J].PhysRevE,2010,82(1):021301.

[6] HUANG K,MIAO G Q,ZHANG P,et al.Shock wave propagation in vibrofluidized granular materials[J].PhysRevE,2006,73(4pt1):041302.

[7] WANG P J,XIA J H,LI Y D,et al.Crossover in the power-law behavior of confined energy in a composite granular chain[J].PhysRevE,2007,76(1):041305.

[8] ZHENG H P,JIANG Y M,PENG Z.Stress distribution and surface instability of an inclined granular layer[J].ChinPhysB,2013,22(4):040511.

[9] ZHOU Z G,JIANG Y M,HOU M Y.Ultrasound wave propagation in glass-bead packing under isotropic compression and uniaxial shear[J].ChinPhysB,2017,26(8):084502.

[10] FRIESECKE G,WATTIS J A D.Existence theorem for solitary waves on lattices[J].MathPhys,1994,161(2):391.

[11] 陈琼，杨先清，赵新印，等.周期型二元颗粒链中孤波传播的二体碰撞近似分析[J].物理学报，2012,61(4):044501.

[12] COSTE C,FALCON E,FAUVE S.Solitary waves in a chain of beads under Hertz contact[J].PhysRevE,1997,56(56):6104.

[13] HINCH E J,SAINT-JEAN S.The fragmentation of a line of balls by an impact[J].ProcRSocA,1999,455:3201.

[14] ROSAS A,LINDENBERG K.Pulse velocity in a granular chain[J].PhysRevE,2004,69(3pt2):037601.

[15] DARAIO C,NESTERENKO V F,HERBOLD E.Strongly nonlinear waves in a chain of Teflon beads[J].PhysRevE,2005,72(1pt2):016603.

[16] NESTERENKO V F.Solitary waves in discrete media with anomalous compressibility and similar to“sonic vacuum”[J].JPhysIVFrance,1994,4:C8-729.

[17] NESTERENKO V F,LAZARIDI A N,SIBIRYAKOV E B.The decay of soliton at the contact of two“acoustic vacuums”[J].JApplMechTechPhys,1995,36(2):166.

[18] LIU S W,YANG Y Y,DUAN W S,et al.Pulse reflection and transmission due to impurities in a granular chain[J].PhysRevE,2015,92(1):013202.

[19] SPENCE D A.Self similar solutions to adhesive contact problems with incremental loading[J].ProcRSocLondonSerA,1968,305:55.