半椭圆断面渠道的水跃方程及其解法

马子普，李书霞，郭晓明，赵苏磊

(1.黄河水利委员会黄河水利科学研究院，郑州 450003；2. 水利部堤防安全与病害防治工程技术研究中心，郑州 450003;3.中国水利水电科学研究院，北京 100038)

迄今为止，除矩形外，不同专家学者已经得到了诸如梯形[1-4]、圆形[3-5,12]、三角形[6-9]、抛物线类[10,11]、马蹄形[12,13]、蛋形[14]、U形[12,15]等多种不同的常见断面形式的水跃方程，其相应的求解方法也多种多样，常见的有公式拟合法、试算法、迭代法、图解法等。与U形断面渠道在国内干旱半干旱区的大规模推广不同，预制混凝土半椭圆形渠道由于造价低、土地利用率低、便于运行维护，在国外大型农田灌溉网络中得到了推广应用[16]。水跃共轭水深作为为渠道水力设计的重要参数，目前并未有关于半椭圆断面水跃方程及其解法的文献，亟需推求其水跃方程并找到快速有效的解法。

半椭圆断面水跃方程的共轭水深，不仅对跃前水深范围有要求，跃前水深须大于临界水深，同时跃后水深范围也有要求，其跃后水深须不大于椭圆的垂向半径，这意味着其跃前水深的范围上下两端均受到了限制，这是其不同于其他常见几何形式的明渠水跃方程共轭水深的特点。为找到半椭圆断面共轭水深的解法，首先推导出半椭圆断面的水跃方程，接着重点确定了跃前水深的取值范围，这是进行跃前水深与跃后水深二者关系分析的前提。最后通过大量计算绘制了无量纲跃前水深与无量纲跃后水深的关系图，应用该关系图可快速得到半椭圆断面的共轭水深。

1 断面水力要素与水跃方程推求

半椭圆断面(见图1)的几何方程可表示为：

(1)

(2)

过水断面面积为：

(3)

(4)

对于过水断面形心到水面的距离hc，采用如下步骤计算：

(5)

(6)

(7)

图1 半椭圆断面示意图Fig.1 Sketch maps of semielliptical channel cross-sections

棱柱体水平明渠的水跃方程为:

(8)

式中：α为动量修正系数；Q为流量；g为重力加速度，通常取9.81 m/s2；A1、A2分别为水跃前、后过水断面面积；hc1、hc2分别为水跃前、后过水断面形心距水面的距离。

以窄深式半椭圆渠道中的水跃(见图2)为例来推求水跃方程。

(9)

(10)

则无量纲水跃函数J′为：

(11)

(12)

2 无量纲参数分析

欲分析η1与η2(即k1与k2)的关系，需首先分析ε及η1的取值范围。

分析无量纲流量ε的取值范围。

图2 半椭圆断面中的水跃示意图(窄深式)Fig.2. Definition sketch map of hydraulic jump in a semielliptical channel(Narrow type)

(13)

(14)

(15)

(16)

再分析无量纲跃前水深η1的取值范围。

对于跃前水深h1应满足h1min≤h1≤hk，其中h1min为h2=b时所对应的跃前水深，hk为同流量下所对应的临界水深。换成无量纲形式，即η1min≤η1≤ηk。

半椭圆形断面的无量纲临界水深方程为：

(17)

文献[16]通过对该方程的拟合得到无量纲临界水深 的近似计算式为：

(18)

根据文献[16]中的半椭圆断面临界水深计算公式计算临界水深，并计算η2=1时所对应的η1min，可得到不同ε时所对应的η1的取值范围(见图3)。

图3 不同ε时η1的取值范围 Fig.3 The depth range of η1 for different values of ε

在曲线ηmin与ηk之间的部分即为η1的合理取值范围。

3 共轭水深的计算

共轭水深需根据式(12)计算。为清晰展示η2～η1的关系，针对不同的ε计算了大量不同η1(η1min≤η1≤ηk)所对应的η2，而后绘制了可描述半椭圆断面的无量纲共轭水深关系图(见图4)：

图4 无量纲共轭水深η2～η1关系图Fig.4 The relationship map of dimensionless conjugate depth η2～η1

根据图4 ，不同ε值时半椭圆断面的η1所对应的η2，以及η2所对应的η1均可查到或通过插值快速得到。

4 应用实例

一半椭圆形断面的形状参数a=0.52 m，b=0.64m。若h1=0.2 m，试分别判定Q=0.25，0.5， 1 m3/s时，是否可能发生水跃，若可能发生则计算h2。

解法:(1)Q=0.25， 0.5， 1 m3/s，分别计算对应的无量纲流量ε，得ε=0.180、0.719、2.876，因2.876>1.937 9， 故Q=1 m3/s时水跃不会发生在半椭圆断面渠道中。

(3)ε=0.180，η1=0.312 5，可从图4获得无量纲跃后水深η2=0.87，则h2≈0.557。

5 结 语

基于半椭圆断面的几何特点推导了其无量纲水跃方程，接着深入分析了水跃方程中无量纲流量及跃前水深的取值范围，并在此基础上通过大量的计算绘制出了无量纲跃前水深与无量纲跃后水深的关系图。依据共轭水深关系图可快速得到针对半椭圆断面的共轭水深值，并通过实例展示了该方法的应用过程。该方法简便直观，足以满足水利工程设计的精度需要。

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