以小见大有效拓展

刘爱格

[摘 要]“韩信分油”这一素材会进入教材中，说明其有一定的数学教学价值。课本上有一道与“韩信分油”极其类似的习题——“水桶分水”，教师可借助此习题有效开展拓展性教学。在拓展性教学中，选材旨在追本溯源，建模贵在顺藤摸瓜，迁移重在举一反三。

[关键词]水桶分水；韩信分油；拓展性教学

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）11-0029-01

拓展性课程不是无本之木，其源于教材，而高于教材。教材中数学思想丰富，能完整展现思维脉络的习题是拓展性教学素材的首选。“韩信分油”这一素材之所以会进入教材中，说明其有一定的数学教学价值。五年级教材上有一道与“韩信分油”极其类似的习题——“水桶分水”，它是很好的拓展性教学的素材。

一、选材旨在追本溯源

历史名题，往往能营造出一种神秘、高深、肃穆的学术氛围，从而引起学生好奇，激发学生的探究欲望，促使教师在潜移默化中完成数学思想方法的渗透和数学技能的传授。鉴于此，笔者将注意力集中到古典名题上。数学史上最早关于分油记载的是16世纪，当时赫赫有名的意大利数学家冯坦那提出一个问题：有一瓶8千克的黄油，想倒出4千克，但没有合适的量器，仅有5千克装、3千克装的空油瓶各一个。如何操作能仅用两个油瓶从8千克的黄油中分出4千克黄油？无独有偶，我国也有类似的游戏——“韩信分油”，原文是“3斤葫芦、7斤罐、10斤油篓分一半”，翻译成白话文，就是利用容量为3斤、7斤和10斤的三种容器平分10斤油。于是，“韩信分油”这一内容的教学由此而产生。

二、建模贵在顺藤摸瓜

对于本内容，教材的定位是“就题论题”，许多一线教师也就照本宣科，就事论事。但考虑到名题效应，其蕴含的教学价值是一个无尽的宝藏，值得我们去深挖开采。于是，笔者在扎根教材的基础上，“借题发挥”，深入拓展延伸“韩信分油”的教学，激发学生的学习热情，帮助学生生成建模思想，发展抽象思维能力。

三、迁移重在举一反三

和大多数教师一样，刚开始笔者对如何教学“韩信分油”一筹莫展，只是引导学生摸索着往下分，直到分出5斤为止。如果仅仅是这样草草了事，经典名题所蕴藏的数学价值就白白流失了。因此，有必要深入分析分油问题的数学本质。通过分析，分油问题可以抽象出模型7A-3B=5（7的倍数与3的倍数之差5）或者3B-7A=5（与3和7勾兑后构成5）。建模能为学生提供分油的方略，接下来学生只需按图索骥，分步填表即可。

由此可见，教学的难点是让学生学会建模，把一个复杂的生活问题，提煉抽象成一个直观简洁的数学模型，再借助表格法进行推演、运算。因此，教师在教学“水桶分水”时要精心设计教学流程，让分水的过程具有算术性。

第一步，尝试着分。坦白讲，“水桶分水”习题具有极大的挑战性。因此，应先用冯坦那的分油问题做引子：水缸边有容积为5升和3升的两个空水壶，你能借助它们舀出多少水？有的说“5+3=8（升）”，有的说“5-3=2（升）”，还有的说“3+3-5=1（升）”。这一过程看似赘余，实则“磨刀不误砍柴工”，学生通过简易的分水法，获得宝贵经验，铺好台阶，才方便登上高台。

第二步，比较着分。要求学生尝试用简易直观的方式展现获取1升水的流程。学生基本上用三种方式：语言描述法、图示法和表格分析法。先引导学生比较辨析，让学生发现表格法的简洁，初步完成模型的抽象提炼；然后再现填表过程，力争简短有力；大部分学生认识到表格法对于建模的效果。教师但不能只满足于此，应进一步要求学生从表格法中归纳提炼出算式。

第三步，模仿着分。原先是用3升水壶舀水，5升水壶倒水。现在反过来操作，合理迁移，合情模仿。允许部分学生凭空想象分水，部分学生填表分水，但无论哪种方法，都要做出解释。当然，汇报展示时要嘉奖既选择算式又用表格法的学生，为下一步做好铺垫。

第四步，有序地分。设计拓展问题：若取水4升，又该怎么分？优生会在分出1升水后，再取3升得到4升；大多数学生会选择重新推演。教师可用问题“你优先选择算式还是表格？”来引导学生做出决策。列算式法与表格法的互补作用，能有效引导学生有序分水。

第五步，灵活地分。教学到此，学生会利用5升水壶和3升水壶匀出1升和4升水。这与“韩信分油”有何渊源？抓住这一问题要害，促使学生进行深度研析。学生说：“现在有3个容器。”教师追问：“那刚才呢？”其实刚才也是3个容器，水缸是一个大容器。学生从中明白了篓子相当于水缸，不是参与分水的量器，分水的量具为7斤水壶和3斤水壶。于是得到：3×3-7=2，2+3=5。

对于拓展性教学，对象是所有学生，实现有教无类；选材，要扎根教材，借助数学名题的效应来激趣；教学，要抓住要害，精心设计教学流程。只有这样，才能使拓展落地生根。

（责编 黄春香）