有限单元法在弯曲内力和弯曲应力教学中的应用

陈俊旗 白杨 咸庆军

摘要：材料力学课程是工科专业的一门重要专业基础课程，力学概念比较多，有些内容较为抽象，学生在学习的时候有一定的畏难情绪。在课堂教学中引入有限单元法，可以提高学生的学习兴趣，增强学生的学习动力。以梁的弯曲内力和弯曲应力的教学为例，介绍有限单元法辅助教学的过程，学生可以更好地理解梁弯曲时的内力和应力，尤其对弯曲时横截面上的正应力有一个更为直观的认识。

关键词：材料力学：有限单元法：弯曲内力：弯曲应力

材料力学课程是土木工程、机械工程等工科专业重要的专业基础课程，是学生由高等数学、大学物理等基础课向专业课过渡的重要课程。通过该课程的学习，学生对杆件的强度、刚度和稳定性问题等有了明确的认识，学生能更快地掌握必要的基础理论知识与计算能力、分析能力、实验能力等。

传统的教学方法是教师在课堂上讲授基本概念、推导公式、讲解习题等。材料力学课程概念多、公式多、计算多，学生在学习的时候有一定的畏难情绪，有时概念可能比较抽象，如应力、应变等概念，学生学习兴趣就会下降。现在大型有限元软件的图形界面很丰富，教师可以用各种云图形象展示杆件受力后的内力、应力、应变、变形等，帮助学生学习相关的材料力学概念。

一、弯曲教学

在整个材料力学课程中，梁的弯曲是学生需要熟练掌握的重要内容。在外力作用下，梁要有足够的强度和刚度。比如，在钢结构建筑中，梁的正应力不能超过屈服强度，否则将引起结构的破坏，梁的变形也不宜过大，不然将使人员产生心理不适，或者导致粉刷层的开裂。又如，机械结构中的轴承等构件要保证有足够的精度，不能变形过大。

在传统教学中教师首先引入梁弯曲的工程实例，然后讲解弯曲变形的特点，引入对称弯曲的概念和梁的计算简图，接着进行梁内力计算和弯矩图的绘制，再从几何方面、物理方面、静力学方面推导梁弯曲的正应力公式以及切应力公式，最后讲解积分法和叠加法求解弯曲变形的方法。整个过程涉及许多抽象的概念，学生往往注意力不够集中，缺乏兴趣，教师教学效果不太理想。有限单元法的引入，可以帮助学生提高学习兴趣，让学生更好地掌握相关知识，提前接触相关专业内容，增强学习动力。

二、弯曲内力分析

弯曲内力是梁弯曲教学的重要内容，课堂讲解一般首先介绍截面法求内力，给出剪力和弯矩的正负规定，然后讲解利用剪力方程和弯矩方程的方法来绘制内力图，给出简支梁、悬臂梁受到简单荷载作用时内力图的绘制方法，接着讲解利用微分关系和积分关系进行内力图的绘制。学生虽然进行了较多的练习，但往往对内力还没有直观认识，感觉学习过程枯燥乏味。借助有限元软件对悬臂梁、简支梁等进行受力分析，绘制内力图，可进一步丰富课堂教学。

三、弯曲应力分析

推导梁弯曲正应力公式时，一般先推导纯弯曲时的正应力公式，然后推广应用到横力弯曲中。纯弯曲的正应力推导，一般考虑几何、物理、静力学三个方面，先由梁的外部变形情况得到横截面上任一点的应变分布规律，然后根据胡克定律得到横截面正应力的分布规律，最后根据静力学知识得到弯曲正应力的计算公式。整个推导过程理论性比较强.学生在听课过程中容易分神，没有学习积极性。借助有限单元法的辅助教学，利用商业软件较为强大的后处理功能，把梁的应力分布情况用色彩变化的应力云图表现出来，可以提高学生的学习兴趣。

四、有限单元法辅助弯曲内力教学过程

第一，对工程问题进行描述，建立力学模型；第二，让学生得出问题的解析解，绘制内力图；第三，利用有限单元法得到问题的数值解，绘制内力图；第四，对解析解和数值解进行比较分析：第五，评估学生对本节课程的意见，改进下一节课。

利用有限元软件可以绘制出简支梁受均布荷载下的剪力图和弯矩图，如图4所示。利用丰富的色彩显示，对内力图进行后处理，清晰地显示出剪力和弯矩的变化规律。剪力由左侧的正值线性变化到左侧的负值，弯矩在跨中位置处有最大值，靠近支座处弯矩趋近于零。

利用材料力学公式计算出弯矩值，并与有限单元法的结果进行比较，如下表所示。两者有一定的误差，这是由于有限元计算结果是一种无限逼近的近似结果，随着网格加密，误差会进一步减小。

五、有限单元法辅助弯曲应力教学过程

根据彎曲正应力的计算公式，简支梁受到均布荷载作用时，最大正应力应该位于跨中横截面上下边缘位置，其值为：

利用有限元程序绘制出均布荷载作用下简支梁的正应力云图，如图5所示，显示效果更为直观，不同的颜色代表不同的应力值，可以更直观地看到正应力的分布特征，帮助学生更清晰直观地认识弯曲应力。

由图5可见，梁弯曲正应力最大值也在跨中横截面边缘处，与解析解所求出的值相一致。图5所示的应力云图清晰地反映了应力的变化趋势，跨中位置横截面从下部的拉应力区域变化到上部的压应力区域，利用颜色的渐进变化很好地表现了横截面上应力的变化趋势，帮助学生理解横截面正应力的分布规律。

六、结论

通过在课堂上引入有限单元法辅助教学，学生可以更好地理解梁弯曲时的内力和应力，尤其对弯曲时横截面上的正应力有一个更为直观的认识。学生既学习了弯曲的基本理论，又学习了如何利用有限单元法得到近似结果，进一步提高了学习力学课程的兴趣。