条形区域下系统不确定项容忍区间分析

姚 波, 张 瑶

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

0 引 言

在控制理论中,能够把极点配置到所希望的位置上且能保证闭环系统具备特定的动态和稳态特性是控制领域的基本问题。然而精确的极点配置问题较难真正实现,所以区域极点配置成为控制界研究的热门问题。在文献[1-2]中,给出了区域极点配置控制器的设计算法,文献[3]给出了垂直条形区域极点配置的充要条件,以此为基础,提出了不确定系统垂直条形区域极点配置的充分条件。文献[4-5]给出了线性系统区域极点配置的理论依据。但是在现实的控制系统中,系统不确定性往往会出现且无法控制,这些不确定性的发生会使系统原有性能失去作用,甚至会损坏系统的稳定性,上述文献针对系统的不确定性给出了可靠控制的理论依据,可靠控制尽管能够使系统依然渐近稳定,但是保守性过强,设计可靠控制系统会造成能源大量的浪费。所以容忍区间的问题进入了人们的研究领域中。文献[6-15]给出了控制系统容忍区间的概念及系统硬件冗余度算法。所以若考虑系统的不确定性,对不确定参数容忍区间的分析有着重要研究意义。

本文在线性系统静态输出反馈垂直条形区域极点配置问题的基础上,思考系统的不确定性,剖析每个不确定项对系统的影响,提出了系统不确定参数容忍区间的概念,通过阐发每个不确定参数对系统性能的影响状况,得到了系统不确定参数容忍区间的计算方法。系统设计人员可以根据不确定参数的容忍区间大小判断不确定参数对系统性能的影响程度,进而设计出一套性能较好的系统。

1 问题描述

考虑线性系统:

(1)

这里:x(t)是系统的n维状态变量;u(t)是系统的p维输入变量;y(t)是系统的q维输出变量;系数矩阵A,B,C是不依附于状态和输入的的常数矩阵。

u(t)=Ky(t)

(2)

由式(1)和式(2)结合形成如下的闭环系统:

(3)

命题1[8]矩阵A的全部特征值都在H1和H2的垂直条形区域内,当且仅当存在对称正定矩阵X,使得

(4)

命题2[8]考虑闭环系统,存在静态输出反馈控制器K,且系统的极点能够配置到H1和H2的垂直条形区域中,当且仅当存在正定的矩阵X和矩阵U,使得

(5)

存在可行解为(U,X),则u(t)=UV-1x(t)为系统相应的静态输出反馈控制器,其中V由VC=CX求得。

如果考虑系统的不确定因素,那么系统可以表述为

(6)

此时闭环系统表述为

(7)

2 主要结果

3 仿真算例

考虑线性系统:

设定系统的第ij项不确定参数波动区间为-5≤fij≤5。

现考虑此系统中的不确定因素在垂直条形区域中极点配置问题,以及系统不确定参数波动的容忍区间。研究表明,系统不确定参数的不同对系统性能的影响程度也不同,容忍区间越小,对系统性能的影响越大。如图2、图3和图4所示。图2描述的是系统不确定参数f11∈[-5,5]波动对系统性能的影响程度,可以观察到系统不确定参数f11波动容忍区间为[-2,2.3]。

图3描述的是系统不确定参数

图1 条形极点配置极点分布图

图2 参数f11波动容忍区间Fig.2 Tolerance interval of parameter f11

图3 参数f33波动容忍区间Fig.3 Tolerance interval of parameter f33

图4 参数f23波动容忍区间Fig.4 Tolerance interval of parameter f23

f33∈[-5,5]波动对系统性能的影响程度,可以观察到系统不确定参数f33波动容忍区间为[-3.1,2.7]。图4描述的是系统不确定参数f23∈[-5,5]波动对系统性能的影响程度,可以观察到不确定参数f23在[-5,5]范围内波动时容忍区间极大,即不确定参数f23在[-5,4]范围内波动对系统的性能不造成影响,由上述所提规律可知,可以扩大参数f23左侧波动幅度求得其容忍区间的大小。

由上述数据,可知系统不确定项f11对系统的影响较不确定项f33对系统的影响较大。加大不确定参数的波动幅度可以得到f23项的容忍区间。

4 结 论

在实际的工业设计问题中,系统中的很多不确定因素是客观存在的,设计者若能掌握好各个不确定参数对系统的影响程度,那么在设计过程中就可以降低能源上的浪费,同时也能保证系统有较高的安全性能。

本文研究了线性系统不确定参数容忍区间的问题,给出了在垂直条形区域内不确定参数容忍区间的算法。容易得知,系统的每个不确定参数对系统的影响程度是不一样的。容忍区间越小,对系统的影响越大,相反则次之。最后利用算例仿真说明了该算法的可行性和重要性。

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