基于贝叶斯理论的天然气水合物储层弹性—电性数据联合反演

潘豪杰 张 研 李红兵 刘堂晏 邓 健 赵 懿(中国石油勘探开发研究院，北京 100083； 海洋国家重点实验室(同济大学)，上海 200092； 中国石油华北油田公司勘探开发研究院，河北任丘 062552)

1 引言

近年来，天然气水合物作为一种非常规能源越来越受到关注，它不仅蕴藏着丰富天然气资源，而且也是控制全球气候变化和海底稳定性的关键因素[1]。天然气水合物的能量密度高、杂质少、储量规模大，被视为未来石油天然气的替代能源，因而天然气水合物的勘探开发具有重要的环境意义和战略意义[2]。各国学者对天然气水合物的研究主要集中在水合物的形成与分解、岩石物理模型、测井解释以及地震数据和海洋可控源电磁数据反演等方面。地震方法探测水合物目前已较为成熟，不仅可通过似海底反射(BSR)、振幅空白带、极性反转、速度异常以及气烟囱构造等特征识别水合物，也可基于叠前AVO反演或全波形反演等定量预测弹性参数，进而由岩石物理模型转化为期望得到的储层参数[3-5]。海洋可控源电磁数据主要是利用海底高阻异常识别和预测天然气水合物储层，可为地震数据预测天然气水合物提供重要补充[6，7]。测井定量评价水合物储层参数方法有很多，如电阻率测井、声波测井、核磁共振—密度测井、电磁波测井以及介电测井等均可预测储层参数[8，9]。而岩石物理模型预测法主要是采用Lee权重方程[10]、有效介质模型[11，12]、接触胶结模型[13]、改进的Biot-Gassmann公式[14]及简化三相方程[15]等建立的岩石物理量板定量预测岩心或实际地层储层参数[16]。

通常，天然气水合物的存在会改变储层岩石物理特性。天然气水合物通过与颗粒之间相互作用使储层的纵波速度急剧增加，而部分取代孔隙流体和阻塞喉道也会导致电阻率的增大[17]。因此，地震纵波速度和电阻率经常被用来定量评价含天然气水合物储层的物性参数。传统天然气水合物储层评价只是基于单一的地震速度或者电阻率等信息，并且通常采用经验的线性或者对数线性化的岩石物理模型预测储层参数，如基于线性岩石物理体积模型计算孔隙度、Archie公式[18]计算水合物饱和度等。然而，声波—电性数据易受地层因素、游离气的存在、测量方式以及岩石物理模型适用性等影响而产生测量偏差，如果直接采用单一数据源会使得储层参数预测不准确，比如海底未固结储层的自然伽马测井预测的泥质含量误差较大，Archie公式在黏土含量高的地方不适用等。一般地，声学特性(如纵横波速度和密度)对孔隙度和岩性变化较敏感，但对饱和度这一重要参数敏感性较差[19]；而电阻率数据对流体类型和分布方式极其敏感，但对孔隙度和泥质含量敏感性相对较低[20，21]；这表明，单纯采用声学或者电学数据预测储层参数并没有很好的考虑储层参数之间的相关性以及储层参数与弹性、电阻率数据之间的敏感性问题。鉴于弹性数据和电阻率数据可以提供预测储层参数的互补信息，故联合声波—电性数据反演可以使得预测的储层参数相互制约，更加符合实际地层情况。此外，简单线性或者对数线性的岩石物理模型并不能很好地定量表征实际情况下储层参数与测量数据之间的关系。因而，选取合适的符合实际储层的非线性复杂岩石物理模型定量预测储层参数很有必要。

通常，不同的储层参数组合可以正演模拟得到相同的声波—电性数据，这也表明地球物理反演或解释结果存在不确定性。这些不确定性可能与基质、流体组分选取、水合物不同赋存形态、岩石物理模型简化假设条件以及岩石物理模型参数选择、地层温度压力变化、测量误差等因素有关[22]。为了充分考虑这些不确定性，本文提出了基于贝叶斯理论的声波—电性数据联合反演储层参数的方法。通过单一的声学数据、电学数据以及声波—电性数据联合反演的三个数值试验证明声波—电性联合反演方法的可行性，进而将该方法应用于ODP204航次1250F井位和IODP311航次1328C井位含水合物储层的声波—电性数据处理。

2 岩石物理模型

岩石物理模型是联系储层参数和弹性—电性数据的桥梁，它提供了岩石特性与储层参数的理论基础。近年来，许多研究学者纷纷提出了刻画水合物储层的弹性—电性岩石物理模型，如声学岩石物理模型有Lee四相权重方程、改进的Biot-Gassmann模型、简化三相方程(STPE)、有效介质理论及胶结模型等[23]；而电学模型有Archie公式、Simendoux公式[24]等。由于水合物海脊和卡斯卡迪陆缘区域的水合物稳定带内的黏土含量均较高，单纯采用Archie公式计算饱和度和自然伽马计算泥质含量会产生较大误差，故本文电学岩石物理模型选用Schlumberger[25]提出的考虑黏土含量的改进Archie公式。基于ODP204航次和IODP311航次初始报告显示在水合物稳定带内的水合物仍主要以孔隙充填形态赋存，故选用Lee等[15]提出的简化三相方程作为声学岩石物理模型。下面简单介绍本次反演所用的简化三相方程和改进的Archie公式。

2.1 简化三相方程

Leclaire等[26]拓展了Biot理论并将其应用于部分冰冻的多孔隙介质中； Carcione等[27]在此基础上假设水合物充当固体骨架的一部分，并基于Kuster-Toksoz理论计算出矿物和水合物的骨架模量，进而推导了含水合物储层的三相Biot方程。Lee等[15]采用Pride等[28]和Lee[29]提出的干岩石模量计算方法改进了三相Biot方程，又在流体对剪切模量没有影响、水合物的形成会降低孔隙度和增加地层骨架模量以及低频假设条件下对三相Biot方程式作进一步简化。公式如下

(1)

μ=μma(1-βS)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

ρb= [(1-Vsh)ρs+Vshρsh](1-φ)+

[(1-Sw)ρgh+Swρw]φ

(8)

式中：ρi为密度，其中下标s、sh、gh、w分别对应组分为砂、泥、水合物和水；Vsh为黏土含量。

2.2 改进的Archie公式 (MAE)

Archie公式一般适用于纯砂岩层段或低泥质含量砂岩层段中的饱和度计算，对于黏土含量较高的海底未固结层段预测结果会产生较大误差，主要是由于黏土中包含的大量束缚水会降低电阻率。为了充分考虑黏土含量对电阻率的影响，本文采用Schlumberger提出的考虑黏土含量校正的Archie公式[21]。改进的公式可表达为

(9)

式中：a、m和n为Archie常数；Rt为地层电阻率；Rw为地层水电阻率；Rsh为黏土电阻率，可由岩心数据实验测量分析得到。

3 贝叶斯弹性—电性数据联合反演方法

3.1 贝叶斯反演理论

测量数据的误差、岩石物理模型不精确、噪声等会使得地球物理反演存在不确定性，而传统解释或者确定性反演方法是无法定量评估这些不确定性的。因此，本次研究将贝叶斯理论引入弹性—电性数据联合反演问题，即将需要反演的储层参数视为随机变量，统计其分布作为先验信息；然后利用弹性—电性数据对先验分布进行调整，得到后验概率分布；最后从后验概率分布中采样来解决统计问题(图1)。贝叶斯理论计算公式[30]如下

(10)

贝叶斯理论中先验信息反映储层参数分布特征，一般起约束作用并假设其满足高斯分布

(11)

上面两式中：nm为储层参数采样点数；m=[φ,Sgh,Vsh]T为储层参数；mp为储层参数先验矩阵；dobs=[VP,VS,ρb,Rt]T为实际测量的数据；Cm为储层参数协方差矩阵，可通过岩心或邻井测井解释数据统计分析得到。其中Wm为考虑弹性—电性数据与储层参数之间敏感性的参数，如电阻率对饱和度敏感，则其权重比纵横波速度、密度大。具体形式为

似然函数主要依赖模拟数据与测量数据之间的匹配程度，测量数据通常也要求满足高斯分布

(12)

式中：nd为测量数据的采样点个数；g(m)为数据正演模拟结果，可表示为g(m)=fRPM(m)+ε，其中fRPM为确定性的岩石物理模型；ε为确定性岩石物理模型添加的误差项，通常假设其服从0均值的高斯分布，即ε～N(0,σ2)；Wd为消除数量级差异引入的权重归一化对角矩阵；Cd为数据协方差矩阵

将式(11)和式(12)代入式(10)，去掉归一化常数整理可得

p(m|dobs)=λexp[-S(m)]

(13)

其中常数λ和误差函数S(m)分别为

(14a)

(14b)

由于本文选取的测量数据与储层参数映射为非线性关系，故需先将岩石物理模型线性化。寻找合适的mMAP使p(m|dobs)最大，等价于求取误差函数S(m)最小的最优化问题。经过推导整理可写成如下迭代形式

G(n)(m(n)-mp)]

(15)

其中后验协方差矩阵为

(16)

式中Jacobi矩阵为

其具体计算过程见附录A。

3.2 反演算法流程图

反演流程如图2所示，即基于相邻井和岩心数据解释得到储层参数，并将其作为初始值mp代入弹性—电性岩石物理模型正演模拟得到合成弹性—电性数据及Jacobi矩阵，然后与测量数据一起代入式(15)和式(16)迭代计算储层参数。当迭代前后的储层参数误差小于10-6，或最大迭代次数达到500次，则输出反演结果及其对应的协方差矩阵。

图2 基于贝叶斯理论的弹性—电性数据联合反演天然气水合物储层参数流程

4 算法应用

4.1 数值试验

为了验证本文提出的贝叶斯框架下的弹性—电性数据联合反演方法的可行性，以及弹性—电性数据联合反演结果较单一数据源反演结果更加可靠，本次研究做了如下数值试验。

试验1为假设海底下面BSR上方有不含游离气的5层层状模型，每层层厚为20m，海底储层矿物由砂岩和泥岩组成。其中天然气水合物饱和度变化范围为0.1～0.3、孔隙度变化范围为0.5～0.6，以及泥质含量变化范围为0.2～0.5。然后，基于弹性—电性岩石物理模型正演模拟不含噪声情况下的纵横波速度、密度和电阻率数据(表2)。本文反演所用弹性—电性岩石物理模型分别为简化三项方程和改进Archie公式，所选取的矿物组成和模量值见表2。其中设定弹性—电性岩石物理模型的反演所需相关参数分别为α=50，m=2.2，n=1.9386，a=1.05，且假定泥质电阻率为5Ω·m，地层水电阻率为0.5Ω·m。其中本文正演和反演需要用到的各组分的体积模量和剪切模量以及密度如表1所示。

图3～图5分别为对计算的表2数据引入5%的误差后，基于贝叶斯理论采用单电阻率数据、单弹性数据和弹—电数据联合反演的储层参数及其相应参数的95%置信区间，其中假定用于反演的弹性—电性数据和待反演的模型参数标准差分别为0.05和0.025。

表1 各矿物和流体的体积模量和剪切模量及密度[15]

表2 模型试验的各层储层参数及合成的弹性—电性数据

图3为单电阻率数据基于贝叶斯理论反演的天然气水合物饱和度、孔隙度和泥质含量。从图中可见饱和度预测的效果较好，而孔隙度和泥质含量预测效果较差，特别是在水合物饱和度较低的情况下。水合物饱和度较孔隙度和泥质含量的置信区间小很多，说明预测的饱和度结果较后二者可信度高。这主要是因为电阻率对流体的类型和分布方式都极其敏感，而对孔隙度和泥质含量不是很敏感。从改进Archie公式可推知，在给定的电阻率地层中，黏土含量越高，则预测的水合物饱和度也会偏高。因而，当地层中黏土含量和水合物饱和度趋势相反时，会使预测的结果不确定性变大。

图4为单弹性数据，即纵横波速度、密度数据基于贝叶斯理论联合反演的储层参数。图中显示孔隙度预测值与实际值吻合较好，泥质含量吻合度次之，水合物饱和度相对较差。另外，孔隙度的置信区间较水合物饱和度和泥质含量小很多，这也表明弹性参数对孔隙度和岩性变化比较敏感，而对饱和度敏感性较差。

图5为联合弹—电数据基于贝叶斯理论预测的储层参数。模拟的纵横波速度、密度和电阻率数据与实际合成的数据吻合较好，预测的水合物饱和度、孔隙度和泥质含量与真实值吻合也非常好，且置信区间较单一数据源反演小很多。

图6为电阻率、弹性数据和弹性—电性联合反演的水合物饱和度、孔隙度和泥质含量的均方根误差。通过单源数据和多源数据反演储层的实验可以看到，预测的弹性—电性数据和实际弹性—电性数据均吻合较好，表明弹性—电性数据信息得了充分融合。并且， 弹性—电性联合反演得到的三物性参数误差值基本上均较单源数据反演误差低。单电性参数与联合反演的饱和度精度相当，而单弹性参数反演与联合反演的孔隙度精度相当。对比三个数据源预测的储层参数的置信区间也可以看出，弹性—电性数据联合反演的结果更加可靠，而且反演参数的不确定性也大大降低了。

图3 模拟的电性数据及其反演的储层参数与实际值对比

图4 模拟的弹性数据及其反演的储层参数与实际值对比

图6 基于三种数据源反演的水合物饱和度、孔隙度和泥质含量均方根误差

4.2 实际数据反演

为了检验基于贝叶斯理论的弹性—电性数据联合反演方法在实际海底未固结含水合物储层中的应用效果。本文分别选取水合物海脊的ODP204航次1250F井位72～113mbsf层段和卡斯卡迪陆缘的IODP311航次1328C井位100～220mbsf层段作为研究对象，这两个层位均在水合物稳定带内，测量的随钻测井数据质量比较可靠。

Tréhu[32]的ODP204航次初始报告指出，1250站位海底深度为807m，三维地震剖面显示BSR在113mbsf左右，未固结储层主要由砂岩、泥岩和粉砂岩组成，水合物形态以孔隙充填为主，稳定带内极个别地方存在游离气。海底温度为4℃，海底温度梯度为0.0575℃/m，骨架密度为2.7g/cm3。基于ODP204航次初始报告提供的信息可得到改进Archie公式的常数分别为a=1.05,m=2.2,n=1.9386,Rsh=5Ω·m，地层水电阻率可以采用Aps’公式计算得到。流体替代后的纵横波速度与孔隙度拟合曲线分析得到固结参数为α=75(72/d)0.8。反演的初始储层参数为统计1250A井的测井解释和岩心数据得到的水合物饱和度、孔隙度和泥质含量的均值，mp=[0.08,0.565,0.145]T。

Riedel等[33]的IODP311航次初始报告指出，1328站位海底深度为1279m，三维地震剖面显示BSR在219mbsf附近，未固结储层也主要由砂岩、泥岩和粉砂岩组成，水合物形态以孔隙充填为主，稳定带内不存在游离气。海底温度为3.5℃，温度梯度为0.054℃/m，骨架密度为2.75g/cm3。由初始报告提供的资料可得到改进Archie公式的常数分别为a=1.0,m=2.6,n=2,Rsh=5Ω·m，地层水电阻率可以采用Aps’公式计算得到。流体替代后的纵横波速度与孔隙度拟合曲线分析得到固结参数为α=65(100/d)0.8。反演的初始储层参数为统计1328D井的测井解释和岩心数据得到的水合物饱和度、孔隙度和泥质含量的均值，mp=[0.12,0.58,0.25]T。

根据实际的测井解释数据做统计分析，建立储层参数的先验分布，可假设储层参数(水合物饱和度，孔隙度，泥质含量)服从三项高斯分量的混合高斯分布，并用期望最大化算法计算出先验分布的各项参数(均值，标准差以及各项所占的权值)，然后应用蒙特卡罗随机模拟技术对其进行抽样，以获得储层物性参数的随机样本分布(图7和图9)。

图7 1250井位处的水合物饱和度、孔隙度和泥质含量的先验分布

图8 弹性—电性数据联合反演ODP204航次1250F井的天然气水合物储层参数

从图8中可见，1250F井位在73～82mbsf、97～103mbsf以及107～110mbsf水合物饱和度含量均较高，表明是水合物高饱和度赋存区域。为对比反演效果，本文将反演的水合物饱和度与Gilles等[34]分别单独采用纵波速度和电阻率数据预测的两类饱和度数据进行了对比，从图中可以看出本文提出的联合反演方法预测的水合物饱和度与岩心分析结果更接近且吻合更好。采用密度计算的孔隙度与反演的孔隙度相当，然而基于自然伽马曲线计算的泥质含量总体较反演结果偏高。模拟数据与测量数据整体吻合较好，表明反演过程中弹性—电性数据信息得到有效利用。而且反演的天然气水合物饱和度、孔隙度和泥质含量的置信区间均较小，也充分表明反演方法的可靠性。

图10为采用1328C井位的水合物稳定带内的弹性—电性数据来反演储层参数。从图中可以看出，反演得到的纵横波速度、密度和电阻率与实际测量值吻合较好，并且反演得到水合物饱和度、孔隙度和泥质含量与实际的岩心测量值吻合度也较高，5%和95%的置信区间均较小。

图9 1328井位处的水合物饱和度、孔隙度和泥质含量的先验分布

图10 弹性—电性数据联合反演IODP311航次1328C井的天然气水合物储层参数

5 结论

本文以贝叶斯理论为基础，采用相邻井和岩心数据为约束条件的弹性—电性数据联合反演方法，通过非线性的弹性—电性岩石物理模型，即简化三相方程和改进的Archie公式，建立了能够定量表征弹性—电性数据和储层参数之间的关系统计岩石物理模型，并采用迭代算法不断更新初始模型从而完成储层参数预测。数值试验和实际资料均证明了该方法精度高，可以大大降低反演的不确定性。同时，该弹性—电性联合反演方法还可以推广应用到碳酸盐岩和碎屑岩等地层的储层参数预测。另外，它可看作是一维测井尺度下的弹性—电性数据联合反演，这也为2D或3D地震和海洋可控源电磁数据联合反演提供了有力的理论支撑。

附录A

雅克比矩阵由纵横波速度、密度和电阻率分别关于水合物饱和度、孔隙度和泥质含量的导数组成，采用链式求导法则计算。

(1)纵横波速度、密度和电阻率关于水合物饱和度的一阶导数

(3)纵横波速度、密度和电阻率关于泥质含量的一阶导数

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