基于局域共振声子带隙的扭转减振器设计方法

吴昱东， 李人宪， 丁渭平， 杨明亮， 马逸飞

(西南交通大学 机械工程学院， 成都 610031)

动力传动系扭转振动是汽车车内振动与噪声的重要激励源之一，可引起变速器齿轮敲击异响(Gear Rattle Noise)[1]、车内轰鸣声(Booming Noise)[2]等噪声问题，降低汽车乘坐舒适性，严重时，甚至会引发传动轴系断裂、变速器损坏，威胁车内乘员安全[3]。自汽车产生以来，人们就在不断探索各种控制传动系扭转振动的方法，安装橡胶扭转减振器就是其中常用的一种。由于对单一扭转振动峰值衰减效果较好，结构简单、成本较低，橡胶扭转减振器被广泛用于汽车发动机曲轴及传动系扭转减振[4]。

目前，在扭转减振器减振特性设计研究中，对固有频率特性研究较多[5-6]，而对减振频带范围的研究较少，因此工程应用中，涉及扭转减振器减振频率范围设计时，往往根据经验来确定。近年来，声学超材料以其可通过亚波长尺寸结构实现对低频机械波有效控制的特性，吸引了大量物理学、材料学等学科的研究学者[7-10]，局域共振型声子晶体作为声学超材料中的一员，其带隙及波导理论也逐渐清晰[11-15]。由于局域共振声子晶体与扭转减振器均是通过共振单元谐振将振动能量局域化，阻隔其传播，两者具有相似的减振机理，因此局域共振声子晶体带隙理论研究的不断深入也为扭转减振器的设计方法提供的新的思路。

本文尝试基于局域共振声子晶体带隙理论，研究扭转减振器的减振频带特性，据此提出扭转减振器减振带隙的设计计算方法，并将该方法应用于汽车动力传动系扭振实际工程问题。

1 扭转减振器减振带隙机理

1.1 扭转减振器带隙机理分析

如图1所示为扭转减振器结构示意图，扭转减振器从内到外一般由扭转减振器所安装轴系、橡胶圈和外圈三部分组成。根据其结构可建立图2所示扭转减振器当量简化模型，当频率为ω的扭转振动波传递至扭转减振器所安装轴系(即基体)时，根据牛顿第二定律，分别对基体及扭转减振器外圈(即振子)建立平衡方程如式(1)及式(2)所示。

T-T′=(iω)2I0θ

(1)

T′=(iω)2I1α

(2)

式中：T为入射扭转波对基体的作用转矩;T′为振子对基体的反作用力矩;I0为基体转动惯量;I1为振子转动惯量;θ及α分别为基体和振子的角位移。

对于扭转减振器振子，根据胡克定律有

-T′=K1(α-θ)

(3)

式中:K1为扭转减振器橡胶圈的扭转刚度。

将式(2)及式(3)代入式(1)中，可得

(4)

若将基体、振子及橡胶圈看成一个具有等效转动惯量的整体结构，式(4)可以表示为

T=(iω)2Ieffθ

(5)

(6)

对于该整体结构，其角位移频率响应函数为

(7)

则该系统的等效转动惯量及角位移频响函数随入射扭转波频率的变化曲线如图3所示。

图3 等效转动惯量及角位移频响函数随频率变化关系

Fig.3 Equivalent rotational inertia and frequency response function of angular displacement change with frequency

若将该扭转减振器视为一局域共振声子晶体晶胞，则动态等效转动惯量较大的频率区域对应局域共振带隙产生的频率范围，而系统在零等效惯量点发生共振，意味着带隙的结束；实际中，振动衰减到一定程度即可认为是带隙，所以带隙的截止频率低于零等效惯量点对应的频率。从图3可看出，在该带隙范围内，角位移频响函数较小，振动衰减明显，因此扭转减振器减振频带特性与基于声子晶体理论的扭转减振器(晶胞)带隙是一致的，增大零等效惯量点与局域共振点之间的距离，将会使带隙的宽度增加。

1.2 扭转减振器带隙计算方法

由于局域共振声子晶体带隙可以表达扭转减振器减振频带特性，因此可基于声子晶体理论，计算扭转减振器的减振带隙。对于图1所示橡胶扭转减振器结构(局域共振声子晶体晶胞)，在扭转波激励下，该晶胞绕轴线x扭转振动，波动方程为[16]

(8)

由于局域共振声子晶体带隙由晶胞结构决定，与其排列周期数无关，因而可在无限周期结构中计算该晶胞带隙[17]，则第n个晶胞的解可以写成

θ(xn,t)=T(t)Θ(xn)=

eiωt[Ansin(qxn)+Bncos(qxn)]

(9)

假设n第个局域共振结构中金属环的扭转位移为

φn(t)=Vneiωt

(10)

式中:Vn为第n个振子的振幅。对于第n个振子的惯量矩，根据力矩平衡得到

(11)

将式(9)和式(10)代入式(11)中得到

(12)

由第n-1个晶胞和第n个晶胞之间的位移连续和扭转连续得到

Bn=An-1sin(qa)+Bn-1cos(qa)

(13)

An+FBn=An-1cos(qa)-Bn-1sin(qa)

(14)

式中:F=ω2IK/μ0JtqK-Iω2。

将式(13)及式(14)写成矩阵形式为

ψn=Mψn-1

(15)

式中:ψn=[An,Bn]T

M=

(16)

即为传递矩阵，可以求解到解析的色散关系

(17)

式中:k为Bloch波矢。对于任意给定的频率ω，利用式(17)可以求得对应的k值，即可获得声子晶体即扭转减振器的带隙特性。

为具体说明该计算方法的使用，取基体材料为钢，半径r0为25 mm，轴向长度a为60 mm；橡胶圈材料为硫化橡胶，外圈半径r1为40 mm，轴向长度l1为30 mm；振子材料为钢，外圈半径r2为50 mm，轴向长度l2为30 mm，则根据式(17)计算获得扭转减振器能带结构如图4所示。可以看出，该扭转减振器可在50～120 Hz内形成减振带隙，抑制扭转振动的传播。

图4 能带结构图

2 设计参数对扭转减振器带隙影响

2.1 几何参数对扭转减振器带隙影响

对于上述简易橡胶扭转减振器而言，其几何设计参数主要包括基体半径r0，轴向长度a；橡胶圈外圈半径r1，轴向长度l1；振子外圈半径r2，轴向长度l2。基于图4所示扭转减振器，进行几何参数对扭转减振器带隙影响的灵敏度分析，结果如图5所示。

从图5可以看出，随着基体半径的增大，扭转减振器减振带隙下界升高，而上界则变化很小，带隙变窄；当橡胶圈外径增大时，带隙下界升高，上界降低，带隙宽度减小；当振子外圈半径增大时，带隙上下界都降低，但下界降低幅度较大，带隙变宽；当基体轴向长度变大，带隙下界不变，而上界降低，带隙宽度减小；当橡胶圈轴向长度增大，带隙上下界都升高，带隙宽度变大；当振子轴向长度增大时，带隙上下界都降低，其中下界降低幅度更大，因此带隙变宽。

2.2 材料参数对扭转减振器带隙影响

橡胶扭转减振器材料设计参数主要包括在基体材料的弹性模量、密度，橡胶圈的材料弹性模量以及振子材料的密度。如图6所示为各材料参数对扭转减振器带隙影响的灵敏度分析结果。

由图6可看出，当基体材料密度增大时，扭转减振器带隙下界基本不变，上界降低，因此带隙变窄；随着振子材料密度增大，带隙上下界都降低，其中下界降低幅度更大，带隙变宽；基体材料的弹性模量对扭转减振器带隙基本没有影响；当橡胶圈材料弹性模量增大时，带隙上下界都升高，上界上升幅度较大，带隙宽度增大。

(a) 基体半径对带隙影响

(b) 橡胶圈外圈半径对带隙影响

(c) 振子外圈半径对带隙影响

(d) 基体轴向长度对带隙影响

(e) 橡胶圈轴向长度对带隙影响

(f) 振子轴向长度对带隙影响

(a) 基体密度对带隙影响

(b) 振子密度对带隙影响

(c) 基体弹性模量对带隙影响

(d) 橡胶圈弹性模量对带隙影响

3 扭转减振器设计方法应用

某国产前置后驱MPV车在加速行驶过程中，由于传动系扭转振动剧烈，引致车内出现明显轰鸣声问题，严重影响车辆乘坐舒适性，其传动系扭转振动及车内噪声测试结果如图7与图8所示(黑实线所示)。从图中可以看出，在该车加速过程中，当发动机转速达到1 500 r/min附近时，传动系扭转振动十分剧烈，相应地，此时车内噪声声压级也出现明显峰值。

为解决该车传动系扭振引致的车内轰鸣声问题，选择使用橡胶扭转减振器抑制其传动系扭振。该车加速过程中，发动机(4缸)转速在1 300～1 700 r/min范围内时动力传动系扭振较为剧烈，对应其扭振2阶激励频率范围为43～57 Hz。则根据式(17)计算分析可得，当扭转减振器基体材料为钢，半径为55 mm，轴向长度60 mm；橡胶圈材料为硫化橡胶，半径为70 mm，轴向长度18 mm；振子材料为钢，半径为82 mm，轴向长度为35 mm时，其减振带隙下界为41.3 Hz，上界为63.1 Hz，带隙宽度为21.8 Hz，可有效覆盖传动系扭振的峰值范围。试制扭转减振器样件，将其安装于主减速器输入轴处(如图9所示)，并进行整车传动系扭转振动及车内噪声测试，测试结果如图7及图8所示。从图中可以看出，安装扭转减振器后，当发动机转速位于1 500 r/min附近时，传动系扭转振动得到了有效抑制，车内噪声声压级降低，同时主观感受也无明显轰鸣声出现。

图7 动力传动系扭振测试

图8 车内噪声测试

图9 传动系安装扭转减振器

4 结 论

(1) 通过对扭转减振器动态等效转动惯量分析发现，扭转减振器减振频带特性与局域共振声子晶体带隙特性是一致的。

(2) 基于局域共振声子晶体带隙理论，提出了扭转减振器减振带隙的计算方法，并研究了几何设计参数与材料设计参数对扭转减振器带隙的影响规律。

(3) 运用基于局域共振声子带隙的计算方法设计扭转减振器，有效解决了某国产MPV传动系扭转振动引致的车内轰鸣声问题，该方法可用于工程实际中扭转减振器的研发与设计。

参 考 文 献

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