打通函数方程，妙解双参问题

陈晓

[摘 要] 已知二次函数零点所在区间求参数取值范围是一个重要题型，是学生得高分的瓶颈.文章列举一些典型的考题，避开线性规划、分类讨论等常规思路，综合运用方程思想、以值代参、变量归一等方法，给出问题的简洁解法.

[关键词] 函数零点；以值代参；变量归一

函数零点是高中数学的一个重要内容，特别是二次函数的零点与方程的根、韦达定理等内容紧密联系，在各级考试中屡见不鲜. 本文结合近期的一些考题，针对二次函数有零点求参数取值范围的这类题型，给出一些简单的解法.

2017年是浙江省高考改革后的首次文理合卷考试，为此在2016年12月浙江省组织了一次全省范围的模拟考试.这次考题从文字叙述、试题风格都与高考保持高度一致，有相当大的参考价值. 这份试卷填空题的最后一题是这样的：已知函数f（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个零点，则3a+b的取值范围是________.

常规解法如下：根据题意，列出a，b所满足的不等式组：

0<-<1，

f（0）=b>0，

f（1）=1+a+b>0，

Δ=a2-4b>0.

作出不等式组所表示的平面区域（如图1所示）

根据线性规划原理，当a=-2，b=1时，3a+b有最小值-5；当a=b=0时，3a+b有最大值0. 所以3a+b的取值范围是（-5，0）.

笔者认为此解法虽然常规，但过程比较麻烦，特别是填空题，有小题大做之嫌. 经过探索，发现f（3）=9+3a+b，即3a+b=f（3）-9.也就是说，要求3a+b的取值范围，只要先求出f（3）的取值范围. 如何求f（3）的取值范围是一个难点. 题目的已知条件是二次函数有两个零点，故可设f（x）=（x-x1）（x-x2）. 上式即为二次函数的零点式，x1，x2是f（x）的零点.

于是f（3）=（3-x1）（3-x2），那么我们最后把问题归结为求（3-x1）（3-x2）的取值范围. 因为x1，x2∈（0，1），所以3-x1∈（2，3），3-x2∈（2，3），故f（3）=（3-x1）·（3-x2）∈（4，9）. 因此3a+b=f（3）-9∈（-5，0）.

上述问题的解决过程关键是把参数a，b的表达式3a+b用其他变量（或者是式子）表示出来，使得问题易于解决.

上述思想在解题中经常用到，比如2017年4月浙江省高中数学竞赛第3题：设f（x）=x2+ax+b在[0，1]中有两个实数根，则a2-2b的取值范围是________.

此题和刚才分析的题目几乎一样，只是最后所求的表達式不同. 有部分命题人是同时参加了这两次考试的命题，笔者猜想命题人好像意犹未尽，又编制了一道相似的题目，像是在暗示我们尽量不要用线性规划原理来解这类题目.

设方程x2+ax+b=0的两个实根为x1，x2∈[0，1]，由韦达定理得

x1+x2=-a，

x1x2=b，于是a2-2b=（x1+x2）2-2x1x2=x+x∈[0，2].

2017年3月绍兴调测卷命制了一道填空题把这类问题推向深入：已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函数f（x）=x2+ax+b在区间-，0上至少存在一个零点，则a-2b的取值范围是________.

我们注意到f（1）=1+a+b[1，2]，如果设m∈-，0使得f（m）=0，即m2+am+b=0，我们就得到关于a，b的方程组

1+a+b=f（1），

m2+am+b=0，

解出a=，进而a-2b=f（1）-3m-1. 因为f（1）∈[1，2]，所以

-3m-1≤a-2b≤-3m-1.

因为-3m-1=3（1-m）+-6≥2-6=0，当m=0时等号取到；又函数y=-3m-1=+3（1-m）-8在-，0上的最大值为1. 综上所述，a-2b的取值范围是[0，1].

本题的关键就是用f（1）和m表示参数a，b，从而把求a-2b的取值范围转化为求关于m的函数的最值问题.

再往前追溯，笔者发现在2013年的浙江高中数学竞赛题中就出现了这类问题：已知二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值.

设m是f（x）在[3，4]上的零点，即

am2+（2b+1）m-a-2=0（*）

此时发现要把参数a，b表示出来缺少一个条件，我们设想把a2+b2整体用m表示.

把（*）整理成

2-m=a（m2-1）+2bm

应用柯西不等式得

（m-2）2=[a（m2-1）+2bm]2≤（a2+b2）·[（m2-1）2+4m2]=（a2+b2）（m2+1）2

于是a2+b2≥≥≥.

因为y=m-2++4是[3，4]上的减函数，所以上面的不等式在m=3时取到等号. 此时8a+6b+1=0，

a2+b2=，解出a=-，

b=-. 故a2+b2的最小值是.

本题我们用柯西不等式成功地分离出了a2+b2，从而把双参数问题转化为单变量的最值问题.

从上述各题中看出，运用韦达定理、以值代参、变量归一等手段，可以避免分类讨论，从而快速求出问题的正确答案，提高解题效率.